数学课堂教学促进学生深度学习的思考

提升数学课堂教学的效率与品质，教师需要在促进学生深度学习方面下功夫。一般而言，深度学习是指在教师的组织和引领下，学生在面对具有挑战性的学习材料或问题驱动下，全身心地主动参与课堂学习活动，从而获得能力发展的学习进程。深度学习是提升学生数学核心素养的手段，教师在数学课堂教学中要积极探索促进学生深度学习的有效路径。

一、在对话交流中进入深度学习

数学知识可以分为隐性知识和显性知识。隐性知识是指高度个体化的，难以形式化或沟通的，难以直接表达或与他人共享的知识，通常以个人的经验、印象、感悟等形式存在;显性知识是指能够以一种系统的方法表达的正式而规范的知识，通常以语言、公式等结构化的形式呈现。在数学教学中，教师比较注重显性知识的教学，容易淡化或忽略数学隐性知识。提升学生的学习品质，促进学生的深度学习，教师除了优化教学内容，创设适切的学习活动场景，还要注重隐性知识的教学，引导学生在对话交流中内化隐性知识，促进学生思维的发展。

以教学“平均数”为例：平均数代表一组数据的一般水平，具有虚拟性的特点。这样的描述性语言，学生容易记忆，而“总数÷份数=平均数”这样的计算公式，学生也容易接受和理解。那么，学生如何理解“代表一般水平”“虚拟性”的含义呢？这就涉及将隐性知识进行内化的问题，也是教学的难点。假如学生的学习处于浅层次，没有深入理解其内涵，没有进行深度探究，就难以突破这一学习难点。因此，教师在教学中要创设丰富的、具有对话交流空间的学习情境，让学生在对话交流中逐渐进入深度学习状态，进而理解数学概念及内涵。

教师可以创设下面的学习情境：二年级学生要进行60米短跑比赛，班主任要求大家回家练习，并填写汇报单“60米，我跑了（  ）秒”。

A同学练习时跑了五次，成绩分别是15秒、14秒、12秒、10秒、14秒。A同学填写的汇报单如下：60米，我跑了（15）秒。不过，他想了想，还是划掉了。于是，师生在课堂上针对A同学的汇报单展开了下面的对话。

师：A同学第一次填写的是15秒，之后又划掉了。这是为什么？

生：因为这是他跑得最差的成绩。

师：A同学第二次填写的是10秒，想了想还是划掉了。这又是为什么？

生：这是他跑得最好的成绩，可能担心真正比赛时跑不出那么好的成绩，有点心虚。

师：A同学第三次填写的是14秒。你觉得他为什么填写14秒呢？

生：因为他跑了五次，其中有两次是14秒，所以填14秒比较合适。

师：但A同学想了想，还是划掉了。这又是为什么？

生：也许他认为自己跑得慢，有点不好意思。

师：A同学第四次填写的是12秒，想了想还是划掉了。你猜这又是为什么？

生：可能他认为这个时间还是显得快了些，心虚。

这时，B同学认为填写13秒比较合适，因为（15+14+12+10+14）÷5=13。

师：（故作惊讶）这是为什么呢？同学们，可以填13秒吗？

生：没有出现过13秒，不可以。

生一时无法做出判断，议论纷纷。

生C：A同学跑了五次，没有出现过13秒，但是这并不意味着后面不会出现，也许跑到第六次就出现13秒了呢。

生C用概率知识进行了推测。在师生的多次对话与交流中，教师逐步引导学生認识代表一般水平的、具有虚拟性的数，即平均数。这个过程使得原本理解了“求平均数方法”这一显性知识的学生又陷入了思考当中，重新经历了一个由清晰到模糊再到清晰的过程，这是学生领会“平均数虚拟性”这一数学隐性知识的过程，也是学生在对话交流中进入深度学习的过程。

二、在丰富经验中走向深度学习

深度学习是在理解学习的基础上，以培养良好思维能力、反思能力和解决问题能力为目标的一种品质学习。在数学教学中促进学生深度学习，其实就是让学生在一定的情境冲突中主动地、专注地、批判性地学习，并自然地进入主动探究问题的状态，能够从多维视角分析数学问题。再者，学习过程是一个知识经验不断丰富的过程，经验丰富的程度影响着学习的深度。因此，促进学生深度学习的教学不应平铺直叙，而应促使学生不断深入思考且思维呈螺旋上升态势，这样才有利于不断丰富有效经验。

学习“负数的认识”这一内容，当学生理解了负数的相对意义关系和相反意义的规定性后，教师给出图1并提出问题：“小华的身高用-2厘米表示可以吗？”有的学生认为可以，有的学生认为不可以。此时，教师可以组织学生分组讨论。学生讨论的过程就是明确知识内涵的过程，也是深入探究问题的过程。

师：请两个小组分别派一名代表阐述本组的观点和理由。

生1：婴儿出生时都有高度，何况是小华，所以，不能用-2厘米表示小华的身高。

生2：如果以一个同学身高120厘米作为标准，小华身高118厘米，那么，小华身高可以表示为-2厘米。

有的学生点头表示认可生2的观点。

师：给你提供一个信息，全国12周岁儿童身高的正常范围是140—160厘米。

生：小华身高158厘米，如果以160厘米作为标准，记作0，小华身高可以表示为-2厘米。

师：如果以140厘米作为标准呢？

生：小华身高可以表示为+18厘米。

师：同样是小华的身高，为什么既可以用正数表示，又可以用负数表示？

生：以哪个作为“0”的标准非常重要。

师：好一个变化多端的“0”呀！看来，确定标准是什么十分关键。一旦“标准”发生了变化，就会引起正负数的变化。如果分别以140厘米、160厘米这两个数作为标准，你能表示自己的身高吗？

这样的练习结合了生活中的数学场景，通过对话、分析，学生明白了“标准”的重要性。当教师提出问题：小华的身高用-2厘米表示可以吗？学生在分析和讨论中逐渐明白了“-2厘米”是小华身高与某一标准量进行比较后的相对结果，并且随着经验认知不断丰富以及“标准”发生变化，会意识到这一相对数值将由负数变为0或变为正数。学生将经历从“已有知识→矛盾冲突→经验丰富→打破平衡→重新建构”的过程，思维逐层递进，变得活跃而灵动。

学生对数字“0”比较熟悉，“0”既可以表示没有，又可以表示起点。受已有知识经验的影响，学生学习负数的时候，能够快速领会数字“0”是正数与负数的分界点。可以说，学生学习“负数”之前，对数字大小表示多与少的认识比较深刻。因此，教师在教学“负数”时要强调，“数”不仅表示多与少，还表示一种状态。这个认知过程是学生经验不断变得丰富的过程，最明显的表现是对数字“0”的认识。这种相对性的认知体验，是学生提升数感的过程。因此，静态数字“0”显然不足以揭示“负数”产生的必要性，要使学生真正体会正数和负数的规定性与相对性，必须对数字“0”进行辨析，使学生的经验变得丰富，并且开始进入一种主动探究的状态。

三、在思维碰撞中实现深度学习

有人说，好课没有标准，但是一节好课往往能够让学生在解决问题的过程中产生思维的碰撞。教学中，教师要让学生不断地挑战富有思辨性的数学问题，通过师生互动、生生互动进入深度思考，从中习得知识与技能、积累经验、发展思维，进入深层学习状态。

教学“平行与垂直”这一内容时，当学生理解了“同面，永远不相交的两条直线，互相平行”这一知识点后，有的教师认为教学到这里就可以了。笔者以为，教学还不够深入，而应在此基础上引导学生思考问题：“异面，永远不相交的两条直线，是否互相平行？”从数学学理层面看，“异面”两条直线平行是不存在的，但从学生经验层面看，“异面”两条平行直线是存在的。围绕这个知识点，教师可以引导学生积极思考问题，做法如下：

师：假如两条直线同时在电脑屏幕这个平面，我们可以说“同面，永远不相交的两条直线互相平行”。如果a∥b，那么直线b平移到任何位置都将与直线a平行或重合，直线b可以上下平移并停留，请问它有多少个地方可以停留？

生：无数个地方可以停留。

师：如果我们在直线b每一个停留的地方用淡灰色表示，这些淡灰色区域将会形成什么？

生：形成一个淡灰色的平面。

师：（课件演示线动成面）同面，永远不相交的两条直线，互相平行，即a∥b。有同面，就有异面，如果把直线b请出电脑平面，放到纸板平面上，直线a与直线b就成为异面直线。那么，异面，永远不相交的两条直线，也互相平行吗？老师为大家准备了学具，请你摆一摆，议一议。

生动手摆放学具并展示，认为两条直线有可能平行，也有可能不平行。

师：异面的两条直线永远不相交，是互相平行的，那么，平移直线a慢慢靠近直线b，直线a平移留下的痕迹将会变成一个面。你能用手比画一下这个面吗？

生用手比画想象中的第三个平面。

师：第三个平面产生，直线a与直线b又在第三个平面同面了。（课件演示）你能在教室找到这样异面的永远不相交的两条直线互相平行吗？

生观察、交流，思考。

以上操作活动，从“同面，永远不相交的两条直线，互相平行”到“异面，永远不相交的两条直线，可能平行，也可能不平行”，再到“异面，永远不相交的两条直线互相平行，平移其中一条直线慢慢靠近另一条直线，平移轨迹形成第三个面，这两条直线又会在同面”。这个从异面到同面的辩证统一的过程，是学生深度思考的过程，在此过程中，学生的思维发生了碰撞，空間观念得到了培养。

四、在回顾与反思中实现深度学习

解决问题是数学教学的常态。教师设置什么样的问题，在什么时间以什么样的形式呈现问题，对问题的解决如何进行追踪评价，都需要精心设计。教师要善于组织学生回顾和反思解题的过程，让学生掌握解题的方法，以合理的教学秩序构建学生自主学习的秩序，从而提高深度学习的有效性。

比如，用“1、2、3、4、5”这五个数字组成三位数乘两位数（数字不重复使用），使得乘积最大。首先，要求学生用“2、3、4、5”这四个数字组成数位上没有重复数字的两位数，看看能组成多少个？然后教师提出问题：“从这些两位数中任选一组两位数，使两个两位数相乘，乘积尽可能大，并说明理由。”学生最后聚焦到52×43或53×42这两个算式，这体现了估算的理念。接着教师可以追问：“到底哪一个算式乘积更大呢？”学生经过思考后一般有以下结论：一是运用常规思维直接计算结果，比较积的大小;二是运用估算思维，比较两个算式结果的大小，看较大乘数的十位和较小乘数的个位，前者是3个50，后者是2个50，前者比后者多出1个50，因此，前面的算式结果要大;三是运用求联思维，即周长一定，长方形的长与宽越接近，积越大。接着，教师再次提问：“如果再给你一个数‘1，用‘1、2、3、4、5这五个数字组成三位数乘两位数（数位上的数字没有重复），使乘积最大。”这个问题就是本课学习的难点，有利于推动学生思维的发展。学生可以在算式52×43的基础上完成思维的挑战，一般有两种结论：521×43或52×431，当学生无法直接确定算式结果大小时，教师可以引导学生进行笔算验证。最后，教师引导学生回顾学习过程，总结学习经验，然后抛出问题：“如果用‘2、5、7、8、3这五个数字组成三位数乘两位数（数位上的数字没有重复），积要最大，怎么办？”

该教学过程大致围绕五个环节展开：数的组成→两位数乘两位数积的大小策略优化比较→三位数乘两位数积的大小比较的问题解决→回顾和反思学习过程→方法的习得、迁移与强化。教师引导学生回顾学习过程，就是学生习得学习方法的过程，也是积累学习经验的过程，有利于学生从学习“术”的层面向“道”的层面推进，是学生从浅层学习走向深度学习的过程，更是提高课堂效度的对策。

围绕深度学习促进学生学习品质的提升，是教师教学实践的重要课题，这个课题不是常规教学可以实现的，也并非一朝一夕能够完成的，这需要教师用心、用力、用智慧去探索与实践，在实践中不断反思，在反思中不断调整，最终找到有效的教学路径。

（作者简介：张翼文，浙江省特级教师，正高级教师，杭州师范大学讲习教授）

（责编 欧孔群）