电动汽车充电负荷概率分布的数值建模方法

张宇轩，郭 力，刘一欣，李相俊，尹晨旭

（1.智能电网教育部重点实验室（天津大学），天津市 300072；2.新能源与储能运行控制国家重点实验室（中国电力科学研究院有限公司），北京市 100192；3.国网安徽省电力有限公司经济技术研究院，安徽省合肥市 230000）

0 引言

国际可再生能源机构（IRENA）发布的《全球可再生能源展望》中预测，2050年全球二氧化碳排放量将降低至33 Gt，其中电动汽车将会贡献23%的减排量［1］。随着未来电动汽车的大规模普及，其充电功率在配电系统中所占比重逐渐增大，将给配电网的规划和运行带来新的挑战［2-4］。如何高效、准确地计算电动汽车充电功率，对未来配电网规划具有重要意义。

由于电动汽车的充电特性与车辆的出行特性、交通网络的拓扑结构和流量水平联系密切［5］，电动汽车充电负荷的建模需要综合考虑车辆出行特性、城市路网结构、交通拥堵情况等因素［6-9］，存在很大的随机性和不确定性。

近年来，部分学者从配电网与交通网耦合的角度开展了电动汽车充电负荷建模的相关研究，通过对交通路网结构［10］或地图网格分区的［11］建模，描述路网中车辆的流动特性。文献［12］通过停车生成率计算车辆充电的概率分布情况；文献［13］基于起止点（OD）分析法构建了车路网一体化时空充电负荷预测模型；文献［14］和文献［15］则分别基于预先确定的多种模式出行链和出行目的转移概率，构建了描述电动汽车出行不确定性的马尔可夫随机过程；文献［16］考虑交通环境时变特性的车辆路径规划；文献［17］基于多主体系统构建用户充电地点决策的概率模型。此外，一些研究进一步考虑了不同充电决策［18］、交通情况和气温等因素［19］、用户的有限理性［20］等对车辆耗能的影响。目前，基于车辆出行概率特性的电动汽车概率建模的研究中主要采用蒙特卡洛模拟或仿真方法进行求解［4］，存在以下两大主要问题。

第一，传统蒙特卡洛模拟方法通过对车辆的连续多次行程进行参数抽样存在耦合误差。为了降低大量随机参数在计算中耦合误差的影响，一些研究基于Naive Bayes模型的出行链生成模型［21］、k最近邻（k-nearest neighbour，kNN）非参数学习算法［22］等获取出行行为的随机特征来预测车辆出行参数，得到大量在时间和空间上耦合的车辆出行样本，在一定程度上减弱了耦合误差的影响。然而，车辆多次出行计算中变量众多，难以考虑所有变量间的耦合关系，随着多次抽样的叠加而产生较大的耦合误差。

第二，传统蒙特卡洛模拟方法计算速度慢，如须计算随机概率的方差值则将进一步增大计算量。为此，部分学者开始着眼于构建可进行数值计算的概率模型。文献［23］提出了整体荷电状态（CSOC）的概念，从车辆集合的整体描述荷电状态（SOC），以快速计算充电概率需求，解决了固定地点的充电负荷数值计算建模问题。文献［24］则对车辆的停车、行车和充电3种状态进行了状态转移建模，建立了电动汽车的充电数值计算概率模型。然而，文献［23］和文献［24］均未计及交通网络的影响，无法真实反映充电负荷的时空特性。

针对上述问题，本文基于文献［23］建立的CSOC概念，提出了一种电动汽车充电负荷概率数值计算建模方法。通过每个路网节点的CSOC直接确定车辆单次出行起始的SOC概率密度函数，避免了多次出行建模中存在的大量参数耦合问题。此外，基于单行程建模消除了多次行程建模中的条件概率，实现充电功率概率密度函数的数值计算，较传统蒙特卡洛模拟过程可大幅提高电动汽车充电负荷随机模型的计算效率。

1 模型框架

本文建模的主要目的是针对未来配电网规划区域内的大规模电动汽车充电负荷开展概率评估。为了简化分析，做出如下假设：①分析背景为城市环境，随着车辆续航里程的增加，单次行程过程中电量不足的概率较低，本文通过SOC阈值充电方式保证了车辆在出行时电量足以完成所在城市的任何一次行程，因此不讨论单次行程中缺电的情况，其中，SOC阈值充电模式是指车辆在SOC高于SOC阈值时不进行充电，低于SOC阈值时开始充电并直至充满或中途停止的充电模式；②本文假定燃油车OD数据不影响算法对电动汽车求解的可行性，建模的数据来源于燃油车出行数据。

基于对车辆实际行驶过程的模拟方法在直接进行数值计算时会出现大量条件概率，车辆数增多后将导致计算量过大而无法求解。而多次行程可解耦为不同起始SOC值的多个单次行程的组合，若可以直接确定任意一次行程的起始SOC，则可以有效解决车辆出行特性上的条件概率计算量过大的问题。车辆单次行程建模中需要确定该行程的起始时刻、起始SOC，通过行程耗时耗能模型得到行程结束时刻与SOC，以此确定充电起始时刻和充电电量，进而得到一次行程的充电功率时序分布。而如何确定行程起始SOC值是单行程建模的最大问题。

基于以上分析，本文从同类型车辆整体的出行特性出发，以车辆的单次行程建模为基础，提出了一种基于CSOC的电动汽车充电负荷概率建模方法。CSOC的概率密度函数是指一个电动汽车集合中所有电动汽车SOC所服从概率分布的概率密度函数。本文按照计算需要，根据电动汽车集合的行驶状态又分为节点车辆集的CSOC（N-CSOC）和OD对车辆集的CSOC（OD-CSOC），分别表示一个路网节点中所有停放车辆构成集合的CSOC，以及同一时刻出发的同一OD行程中所有车辆构成集合的CSOC。

其中，N-CSOC主要用于确定OD对在行程起始时刻的OD-CSOC概率密度函数，这也是实现单行程建模的关键。由于从整体上看，节点车辆集中任何一辆车都有可能离开节点，假定车辆驶离起点是随机的，则一个OD对车辆集的出行起始SOC概率密度函数等于出发时刻起点的N-CSOC概率密度函数。建立OD-CSOC的目的则是确定一个OD对中的车辆集在行程结束时的CSOC概率密度函数，用于更新车辆目的地的N-CSOC概率密度函数和计算OD对中车辆的充电负荷概率分布。

本文建模的整体思路与关键变量如图1所示，图中方框表示本文模型部分关键中间变量，蓝色箭头代表变量的传递和计算过程，红色箭头为OD矩阵参与运算的过程。在车辆单次行程建模中，通过N-CSOC确定行程的起始SOC概率密度函数，通过OD-CSOC确定行程结束后的SOC概率密度函数并用于更新N-CSOC。单次行程的概率可通过相应OD对的概率确定，进而可得到一个OD出行的充电功率曲线和其发生的概率；再以OD对概率为权重，对不同OD对的充电功率进行加权，得到任意一次行程的充电功率时空概率分布，并由大数定律扩展至任意次行程的充电功率概率分布。此外，模型通过迭代路段车辆数分布情况考虑交通分布对车辆出行的影响，在一次迭代中，车辆通过上次迭代的交通分布情况规划出行路径，得到新的道路车辆分布情况并进行下一次迭代，直至迭代收敛。

在图1中，同一个节点的N-CSOC概率密度函数会随时间变化，受以下3个方面影响：①车辆离开；②车辆抵达；③车辆充电。其中车辆离开不会直接导致N-CSOC概率密度函数发生变化，但是会引起节点车辆集的车辆数减少，结合其他两方面的影响，间接导致N-CSOC概率密度函数的变化。车辆抵达会引入不同于N-CSOC概率密度函数的ODCSOC概率密度函数，抵达车辆的充电过程会导致节点停放车辆集的CSOC直接变化。限于篇幅，模型的整体结构如附录A图A1所示。

图1 建模思路及关键变量结构图Fig.1 Sructure diagram of modeling idea and key variables

2 充电负荷时空概率分布模型

本文建模中主要考虑私家车、出租车等出行随机性较强的车辆类型，公交车等行程固定的车辆可以直接通过时间表建模，不在考虑范围之内。本文以OD分析为基础描述车辆的出行概率特性，统计出行起止点和车辆出行的起始时刻数据，建立OD矩阵。在后续建模中，下标i表示OD对编号，下标j、l表示路网节点编 号。Ai，t表示 在t时 刻 出 行 的OD对i，并定义Si和Di分别为OD对i的起点和终点的节点编号。由于不同类型车辆的行程特性相互独立，OD矩阵也需要分别进行统计［25］。

2.1 行程耗时耗能模型

2.1.1 行程耗时概率模型

本节建模的主要目的是获取车辆出行路径和车辆行程时间。通过对路段车辆数分布的迭代计算，确定给定交通分布下车辆的出行路径，由BPR（Bureau of Public Roads）模型［18］计算车辆行程时间和更新路段车辆数分布。

1）路径决策

本文模型中车辆出行均选择最短出行时间方法，采用Dijkstra算法由路段行驶时间邻接矩阵搜索路 径。定 义Ai，t的 出 行 路 径 为ri，t。

2）OD对中车辆数量概率密度函数

3）路段车辆数概率密度函数

迭代收敛条件为迭代误差εs满足以下条件：

4）路径行程时间概率密度函数

本文采用描述道路流量与车流速度关系的BPR模型计算车流的行驶速度。由以上分析可知路段车辆数为正态分布，则路段行驶时间tp可近似为对数正态分布，而实际中tp不可能为无穷大，需要为其设置上限。定义tp的概率密度函数fP(tp)如下：

2.1 .2行程耗能模型

为简化说明，本文中车辆路段消耗能量仅与车辆的行驶路程相关，路径r的耗能计算如式（5）所示。

式中：Bc为车辆电池容量；Ep为车辆单位行驶里程的耗电量；L(r)为路径r的长度；sc(r)为车辆以路径r为行程时的SOC总消耗值。

2.2 CSOC概率模型

2.2.1 CSOC的概率密度函数

本文使用CSOC概念的主要目标是为单次行程提供起始SOC概率密度函数，并将其扩展至NCSOC和OD-CSOC两部分，同时给出具体交通网络结构中CSOC的任意类型概率密度函数计算方法。由于不同车辆CSOC计算方式完全一致，为方便理解，以单一出行特性类型车辆为例进行说明。

1）N-CSOC概率密度函数

N-CSOC的建立主要用于确定不同时刻、不同地点出发的车辆集合起始CSOC概率密度函数。其概率密度函数会受到车辆离开、车辆抵达、车辆充电三方面的影响。N-CSOC概率密度函数由t时刻到t+1时刻的时变过程运算结构示意图如附录A图A2所示。由图A2可知，为了计算t+1时刻的NCSOC概率密度函数，需要得到t时刻抵达/离开该节点的OD-CSOC概率密度函数，同时确定充电过程平移算子。其逻辑示意图见附录A图A3。

2）OD-CSOC概率密度函数

OD-CSOC的主要目标是确定不同时刻抵达不同目的地车辆的SOC概率密度函数。考虑到实际车辆行驶中SOC会逐渐下降，与之对应的ODCSOC概率密度也会随之变化，具体体现为其概率密度函数曲线的平移过程（函数曲线横坐标为SOC值，纵坐标为概率值），详细解释见附录A。

2.2.2 OD-CSOC概率密度函数的计算方法

本节计算主要用于确定驶离和抵达节点的车辆集的OD-CSOC概率密度函数。以下对驶离节点的车辆数量、OD对行程起始时刻的OD-CSOC的概率密度函数、抵达目的地的车辆数量、OD对行程结束时刻的OD-CSOC概率密度函数4个方面的计算分别进行说明。

1）驶离节点的车辆数量

2）OD对行程起始时刻的OD-CSOC概率密度函数

3）抵达目的地的车辆数量

4）OD对行程结束时刻的OD-CSOC概率密度函数

行程中的能量消耗对应于OD-CSOC概率密度函数曲线的向左平移，详细解释见附录A。定义函数FCL(·)为向左平移函数，具体表达式见附录B。

2.2.3 N-CSOC概率密度函数的计算方法

N-CSOC的概率密度函数受到车辆离开、车辆抵达、车辆充电3个方面的影响。其中车辆抵达、离开的影响采用概率密度函数的加权处理计算。车辆充电的影响则通过正在充电的车辆集CSOC概率密度函数的过程实现，具体平移说明见附录A。

2.2.3.1 节点停放车辆数量概率密度函数

式中：ta为抵达时刻。

2.2.3.2 N-CSOC概率密度函数

1）车辆抵达、离开的影响节点j在t时刻，车辆抵达和离开两方面影响下的N-CSOC概率密度函数分别如式（15）和式（16）所示，推导过程见附录B。

2）充电过程中N-CSOC概率密度函数的计算不同充电模式会对充电功率的时空分布产生不同的影响，与充电过程对应的N-CSOC概率密度函数平移变化也会有所差异。本文讨论2种充电模式：①目的地充电模式（车辆抵达目的地后便开始充电，直至充满或车辆终止充电离开）；②SOC阈值充电模式（车辆抵达目的地后若SOC值低于SOC阈值，则开始充电直至充满或车辆终止充电离开）。

假定充电过程中充电功率保持不变，则车辆充电过程中单位时间电池SOC增量sr满足：

式中：Pc为充电功率，不同路网节点的sr可通过节点j充电设施的额定充电功率Pc，j进行区分；Δt为时间间隔。

充电过程为车辆的SOC增长过程，表现为NCSOC概率密度曲线的向右平移，详细说明见附录A。本文采用叠加平移算子的方法平移概率密度曲线，平移算子定义为一个求和算子，通过与前一时刻的SOC概率密度函数求和，得到下一时刻平移后的概率密度，具体数学定义见附录B。

通过平移算子计算充电过程中的N-CSOC概率密度函数变化如式（21）所示。

综合式（15）、式（16）、式（20），N-CSOC概率密度函数在一个时段的变化计算方法如下：

2.3 充电过程模型

1）充电时长tc与充电起始SOC值ss的关系如下：

3）指定次数行程的充电功率时空分布

2.4 参数的修正

2.4.1 节点N-CSOC概率密度函数的修正

实际中车辆首次出行的时刻对于其初始SOC值没有影响，然而N-CSOC概率密度函数是时变的，不同时间出行的车辆起始SOC概率密度函数存在差异，直接以该N-CSOC概率密度函数确定未出行车辆的起始SOC会引起计算误差，因而需要针对上述问题对模型进行修正。为此依据车辆出行状态将路网节点下的车辆划分为3类：还未出行的车辆（First类型）、已经出行并将继续出行的车辆（Travel类型）和已经结束所有行程的车辆（Final类型）。一次行程中仅有First和Travel类型的车辆可以驶离节点，概率分别为PBR和E-PBR（E为单位矩阵），而抵达目的地Travel和Final类型的概率分别为E-PFR和PFR。其中，PBR、PFR通过统计数据确定。t时 刻 离 开 节 点j的First类 型 的 概 率 为PBR，i，t，t时 刻抵达节点j的Final类 型的概率 为PFR，i，t。

2.4.2 车辆提前终止充电的修正

考虑到随着时间增长，正在充电的车辆也可能终止充电而离开。为了补偿这部分中途离开的车辆，引入补偿系数cj，t，其物理意义为t时刻节点j充电功率中，由于车辆离开而剩余的比例。经过简化后的计算式如式（30）所示，具体简化见附录B。

式中：x为求积变量，无物理意义。

3 算例分析

统计NHTS 2009 data数据［25］并结合具体路网信息生成OD矩阵，其中包含超过26万辆车的逾83万次出行数据，平均每辆车出行3.151 6次。

算例中模拟5 000辆电动汽车和95 000辆传统燃油汽车的出行，设定一天中的车辆出行次数共31.516万次，各路段车辆限速为40 km/h。同类型出行特性车辆中，本算例中考虑5个子类的不同耗能特性车辆，其电池容量、耗电情况、SOC阈值和所占比例见表1。车辆充满时电池SOC为95%。

表1 不同耗能特性车辆参数Table 1 Vehicle parameters with different energy consumption characteristics

图2 路网结构图Fig.2 Structure diagram of road network

3.1 出行特性的参数耦合情况

基于车辆多次出行的模型中存在大量耦合参数，这些耦合误差会随着时间的增长而积累，导致车辆行车特性与原始统计数据出现偏差。选取车辆的节点出行概率和车辆在节点的停驻情况作为对比指标，比较基于单次出行的本文方法与基于多次出行的对照方法的计算结果，对比结果如图3所示，其中，图3（a）和（b）中3幅图从上到下分别表示节点10、节点9、节点5的概率特性。

图3 车辆出行、停驻概率值对比Fig.3 Comparison between probabilities of travelling and parking for vehicles

所提基于单次出行的建模方法在节点出行概率计算结果与原始数据的概率特性上完全一致。在车辆停驻情况方面，由于车辆行车时间的差异，有微小误差，但整体高度重合。对照方法由于多次出行而造成的参数耦合误差导致计算结果偏差较大。表2为图3对比结果的量化指标。对比结果表明，所提方法可以有效消除大量耦合参数建模不充分的影响，更精准地反映原始统计数据中的车辆出行特性。

表2 不同模型出行特性误差对比Table 2 Error comparison of travelling characteristics of different models

稳态的交通概率迭代计算结果见附录C。

3.2 充电功率及CSOC概率密度函数的变化情况

目的地充电模式的充电计算结果如图4所示，图4（a）至（c）中，位置①为一天起始SOC概率分布，由于不同耗能特性车辆的电池容量和单位路径消耗能量存在差异，因此该时刻峰值相对分散；位置②反映了早高峰抵达目的地车辆的SOC处于相对较低的水平；位置③对应于早高峰后大量车辆集中抵达目的地后开始充电的过程；位置④表明在晚高峰到来时，来自不同节点的车辆OD-CSOC分布不均匀，且新抵达车辆中较低的SOC值也降低了N-CSOC中高SOC值的概率；位置⑤为晚高峰后大量车辆完成最终行程返回充电，高SOC值概率逐渐逼近于1。图4整体反映了以目的地充电方式充电时，节点上停驻的车辆大部分保持高SOC值的状态，而抵达目的地的车流会引入较低的SOC值，降低该节点的高SOC值的概率。随着时间增长，充电过程的进行使所有车辆都逐渐趋向于充满状态。

图4 节点10的CSOC概率密度曲面图Fig.4 Surface diagram of CSOC probability density for node 10

SOC阈值充电模式计算结果见附录C。

本文数值计算方法与对照方法在3种不同类型区域且部分节点充电功率为95%置信区间下的对比结果如图5所示，其中，对照方法通过对多次蒙特卡洛模拟结果统计得到估计概率分布的95%置信区间。

图5 本文方法与对照方法结果在95%置信区间的对比图Fig.5 Comparison diagram of proposed method and reference method results at 95% confidence interval

由图5可知，本文所提方法和对照方法的计算结果在95%置信区间上与期望值结果均十分相近，其中95%置信区间重合度为95.335%，期望值相对误差为3.67%。考虑到传统基于多行程的蒙特卡洛模拟存在耦合误差和收敛误差等问题，计算结果存在一定的不确定性，因此计算结果对比仅作为合理性检验。结果表明，本文所提方法在计算精度上可以满足实际分析计算需要。由于本文所提充电负荷建模的主要目的为评估配电网设施的冗余度，支撑未来配电网规划，对峰值功率精度的要求高于其他时段，因此可以认为结果具有较强的可信度。

3.3 计算耗时

对照方法设定期望值和方差的迭代相对误差精度分别为1%和5%。对照方法实现收敛需要蒙特卡洛迭代122次，耗时280 956 s，约78 h。本文方法无须记录、保存和更新所有车辆的实时状态信息，全部过程耗时297 s，仅为对照方法的0.10%。

4 结语

本文提出了电动汽车充电负荷时空概率分布模型，消除了多行程建模中的变量耦合问题，计算结果包含具体的概率密度函数，在保证精度的前提下大幅度提高了计算速度。

所提方法通过车辆出行的统计数据进行负荷建模，可以反映不同地理位置、不同类型区域下采用不同充电策略的充电功率分布情况，用以估计配电区域内充电功率时序分布。随着未来电动汽车渗透率的逐步提高，所提方法可以快速高效地确定多种类型场景下的充电负荷时空概率分布，对于配电网设施的布局和规划具有重要意义。

值得注意的是，本文所提方法主要用于评估规划区域内的电动汽车充电需求。目前研究中还未考虑电动汽车需求响应等智能充电策略，不同智能充电策略下数值计算概率模型还有待进一步研究。

未来的研究中，在所提数值计算建模框架的基础上，将对大规模电动汽车充电负荷接入的影响进行评估，分析不同车辆渗透率、不同车辆类型结构等对配电网运行安全性和经济性的影响。在此基础上，结合实时交通信息开展智能充电策略下的充电负荷快速建模方法及配电网协调优化方法的研究。

附录见本刊网络版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），扫英文摘要后二维码可以阅读网络全文。