基于混合单调系统理论的电压动态响应分析

陈民权，张 谦，甘德强，摆世彬，田志浩，刘 刚

（1.浙江大学电气工程学院，浙江省杭州市 310027；2.国网宁夏电力有限公司，宁夏回族自治区银川市 750001）

0 引言

在自动化系统中，为获得更好的控制与稳定性能，通常采用负反馈形式将输出量信息送回输入端构成闭环。具有负反馈调节的控制系统，通过自动修正输出量与参考输入量之间的偏差，使系统趋向设定值，并抑制回路中内扰和外扰的影响，较好地改善动态性能。

电力系统中存在大量的负反馈环节，如同步发电机的机端电压自动控制、新能源并网换流器的功率跟踪控制等，它们共同维持电网运行在稳定电压与额定频率。伴随着清洁能源渗透率的逐步提高，越来越多的电源通过变流器接入电网［1］，此类电源的动态特性很大程度上取决于变流器控制模式［2］，使得电网负反馈调节特征更加突出。

在电网中广泛存在的负反馈型控制模块，大多采用局部输出量作为反馈信号［3］。比如励磁系统中的电压调节器监测自身机端电压，通过励磁电压和内电势的调整让发电机出口电压跟踪给定值。此外，电压不稳定也主要是由局部的无功功率不足导致的。这些局部特性影响着电压动态的鲁棒行为，令系统雅可比矩阵呈现符号特征。把握这些系统特性与结构特征，有助于研究电压动态响应规律。

长期以来，大量专家学者都在研究动态电压稳定方面的有效分析方法［4］。时域仿真法［5］通过对用于描述电压动态的微分-代数方程组开展数值积分获得时域响应曲线。固定参数/初值组合下的时域轨迹结果直观，可与真实录波信号对比。但若系统包含不确定性时，计算量将大幅增加，同时其结果由于缺乏解析性，往往还需要借助功率平衡、电气距离、短路比等近似判据开展稳定分析［6-7］。

李雅普诺夫直接法［8］不根据系统运动轨迹判别稳定性，而是直接从系统能量角度出发，构建能量函数给出稳定度。文献［9］总结了使用启发式能量函数法研究电压稳定的一些结果，但仍未能计及励磁系统的作用。

综上所述，分析计及励磁系统的电网电压调节过程的内在性质，具有重要意义。本文致力于研究电压动态模型的结构特征，指出其中蕴含的混合单调性，并应用混合单调系统理论分析电压稳定性以及参数对其的影响。分析结果揭示了交流系统电压稳定的数学物理基础，同时表明交流系统电压动态存在固有的鲁棒性，对于仿真中可能出现的参数误差也具有一定的容错性。

1 混合单调系统的有界稳定性

一个开环输入输出系统的数学模型可描述为：

式中：x为状态向量；u为输入向量；y为输出向量；f(·)和h(·)分别为状态函数和输出函数。

将上述开环系统的输入与输出直接相连（u=y），得到一个反馈闭环系统，其中动态系统视作前向通道，输出函数作为反馈通路，共同组成一个闭合的回路，如附录A图A1所示。

1.1 混合单调与增广系统

在上述闭环系统中，若动态系统是单调［10］的（即其雅可比矩阵的非对角元均非负），而反馈通路是单调递减的（即负反馈），则

是混合单调的［11］。文献［12］指出，一个混合单调系统的部分动态特性可以借助由其衍生出的一个对称的规模倍增的增广单调系统得到。对应增广系统的数学模型如式（3）所示，具体结构如图1所示。

图1 增广闭环系统的结构Fig.1 Structure of augmented closed-loop system

式中：x+和x-为增广系统状态向量。

1.2 增广估计有界

更进一步，如果采用区间顶点作为状态初值的增广系统的解轨迹是有界的，那么从相同区间内任一点出发的原系统的解轨迹也一定是有界的。

下面给出增广系统解有界的充分条件。

如 果 存 在x+≥x-满 足f(x+，h(x-))≤0≤f(x-，h(x+))，那么[x-，x+]是系统式（2）的正不变集，从[x-，x+]T出发的增广系统解轨迹是有界的［14］。

以一个二阶混合单调系统为例，状态量为[x1，x2]T，利用其增广系统估算原系统响应分布，并观察响应特征。

2 简单电力系统模型分析

电力系统的数学模型可以统一描述为一般形式的微分-代数方程组。

式中：x对应描述电力系统动态特性的状态变量；y对应电力系统运行参数的代数变量；d(·)和g(·)分别为微分函数和代数函数。

代数方程为隐式结构，难以直接看出y与x之间的联系。下面针对电压动态响应研究，结合一些假设，首先推导出2节点系统中代数方程的电压显式解，继而应用混合单调理论分析电压动态响应规律。

2.1 2节点系统

附录A图A3所示的2节点系统中，同步发电机不计阻尼绕组并忽略凸极效应，此时q轴同步电抗等于d轴暂态电抗，因此可用暂态电抗X′后的暂态电势E′表示，负荷采用恒阻抗类型。系统参数设置如下：发电机容量SG=100 MVA，暂态电抗X′=0.25 p.u.，d轴同步电抗Xd=1.0 p.u.，惯性时间常数TJ=6 s，d轴开路暂态时间常数T′d0=5 s，外接电抗（包括变压器和输电线路的电抗）Xe=0.25 p.u.。

当潮流计算得到节点2的电压为V2∠θ2、消耗功率为P2+jQ2后，计算负荷等值阻抗为：

式中：V2和θ2分别为节点2电压的幅值与相位；RL和XL分别为等值的电阻与电抗；P2和Q2分别为节点2消耗的有功与无功功率。

继而推出暂态过程中发电机机端电压V⇀G为：

式中：V⇀1为节点1电压相量；δ为发电机功角。

令XΣ=X′+Xe+XL，计算电压幅值|VG|，有

式中：K1为由系统参数所确定的正数。

由于忽略了凸极效应，暂态电势E′位于q轴，d轴电流Id与q轴电流Iq的表达式为：

若发电机配置了比例型励磁电压调节器，系统电压动态的数学模型归纳如下。

式中：Efd为励磁电压；Vref为电压调节内部参考值；KA为调节器放大系数；TA为调节器时间常数。

Vref由潮流数据确定，即

式中：Efd0为稳态励磁电压；VG0为稳态机端电压。

式（11）具有结构特征，可视作由一个开环单调单输入-单输出系统和一条负反馈通路构成的闭环混合单调系统，相应数学模型改写为：

依照式（3），将2节点系统继续扩展成如下所示的动态特性更加明朗的增广单调系统，有助于研究电压动态响应特性。

由式（14）可知，通过在反馈通路交换信息，令最大状态子系统获得最小的负反馈量，最小状态子系统获得最大的负反馈量，从而保证增广系统的时域响应始终能够包络原系统的电压动态响应。值得注意的是，所交换的2个反馈量差异越大，所得包络估计结果的保守程度越大，不同分解模式将直接影响反馈量差异，具体分析见文献［12］。

2.2 稳定域估计

若增广系统式（14）的一组顶点值满足解有界的充分条件，那么从该组顶点出发的解轨迹不会运动到集合之外，也意味着被包络的原系统解轨迹不会无限增大或减小，表明该区间是原系统实际稳定域的一个保守估计结果。

根据增广系统解有界的充分条件，系统式（14）的不等式约束为：

由图2可以看到，原系统从不同初值状态出发的Efd出现了相互交错，直接采用时域积分法分析需要列举足够多的参数组合才能确定时域上各阶段的最大、最小值，不仅计算负担大，还可能在多参数情况下出现组合爆炸问题。而借助增广系统，利用原系统具有的混合单调性，仅需要针对2个区间顶点开展时域积分获得解轨迹，即可获得一个近似的双边估计，提高了分析效率。

图2 2节点系统时域响应Fig.2 Time-domain response of 2-bus system

由于单调增广系统提供的双边估计是有界的，所以从对应区间内任意一个状态出发，2节点系统的轨迹均能逐渐运动至平衡点。因此，通过求解关于不确定区间顶点值的一组不等式代数方程，可估计出2节点系统的稳定域。

2.3 调节器放大系数的影响

观察闭环混合单调系统的数学模型式（13），发现KA只作用于反馈通路，对应电压调节器的负反馈调节机制。因此，在增广系统式（14）中，KA越大，反馈通路中2个子系统所交换信息的差异越大，使得增广系统更容易发散。研究发现在实际电力系统中，KA的提高会增加系统的负阻尼，导致低频振荡发生［15］，增大系统振荡失步的概率［16］。

从数学模型上分析，整理式（15）得到：

对式（15）继续变形，得到：

不同结构参数对K2/K1的影响如表1所示。由表1可以看出，外接电抗的减小、暂态电抗和d轴同步电抗的增大均有助于提高KA上限值。

表1 结构参数对K2/K1的影响Table 1 Influence of structural parameters on K2/K1

2.4 限幅环节的影响

在励磁调节器的数学建模中，对应实际物理工程上存在的饱和特性、安全稳定约束或功能需求，部分环节的输出幅值会受到限制。考虑带有终端限幅［17］的比例型电压调节器，结构如附录A图A4所示。系统数学模型更新为：

式中：Sat(·)为限幅函数；下标max和min分别表示输出最大值和最小值。

由于限幅函数是单调的，因此仍可将系统式（18）视作由一个开环单调输入-输出系统和一条负反馈通路构成的闭环混合单调系统。相似地，得到所对应的增广系统为：

限幅函数的加入，可减缓E′+与E′-的变化速率，使得反馈通路中2个子系统所交换信息的差异有所减小。图3对比了加入限幅环节前后的电压响应系统时域解曲线，可以看出限幅环节有利于减缓增广系统解的发散，能够降低估计结果的保守程度，提高估计精度。

图3 励磁限幅对系统响应的影响Fig.3 Influence of excitation limitation on system response

此外考虑电压调节器配置限幅环节，增广系统解有界的充分条件表示为：

对比约束式（15）与式（21），可知前者解集是后者解集的一个子集。所以限幅环节的加入，在相同参数下能够扩大增广系统的稳定域范围，一定程度上改善原系统稳定性。

3 多机电力系统模型分析

在上述简单系统的电压响应特性分析中，混合单调分析方法揭示了电压动态模型的结构特征，研究了不同控制环节或控制参数对电压稳定的影响。下面讨论其在多机系统模型中的分析应用。

3.1 简化的电压动态响应模型

针对电压问题，若系统中发电机的功角和转速波动相对较小，文献［18］提供了一种简化的多机电压动态响应模型，并指出其中的混合单调性。通过将功角和转速视作恒定值，基于Dommel-Sato迭代与矩阵幂级数方法，网络方程得以获得显式解析解，即

进而可将多机电压动态响应数学模型拆解成一个开环单调多输入-多输出系统和一条负反馈通路：

式中：EI为单位矩阵；K3=-EI-(Xd-X′d)KI为Metzler矩阵，其非对角元均非负。其余变量均为上文所提变量的多维向量，下同。

通过在反馈通路交换信息，可构造出对应的增广系统来快速获取原多机系统的双边响应估计，分析参数变动或状态量初值变动对系统状态轨迹的影响，相关结果参考文献［18］，此处不再赘述。

结合增广系统解有界的充分条件，可深化电力系统电压动态特性研究。针对多机系统的稳定域估计，存在如下约束方程：

继而推出关于KA的一个充分条件为：

在多机系统中，尽管|VG|具有关于E′q的显式单调表达式，但这也是非线性映射，难以直接从式（26）求解出KA上界。但从式（26）可以看出，KA取值越大，该充分条件越难满足。文献［19］提出在短时间内或不严重扰动下，对具有齐次特性的|VG|进行一阶泰勒展开以获得线性关系式，实现快速计算，这在一定程度上是可以借鉴的。

此外，式（25）仍是一个便利的检测条件，只需要把初始时刻的值代入并使得该式成立，则说明从该状态点出发的解轨迹一定是有界稳定的。

3.2 考虑转子角变化的系统分析

在多机系统中，考虑发电机间转子角度差变化的影响，需要加入摇摆方程完善数学模型：

式中：δ为发电机转子角；ω为发电机转速；ωn为标称转速常数；PT为机械功率；Pe为电磁功率；D为阻尼系数。

式（27）表征的系统在特定条件下也具有混合单调性，可通过对应的增广系统估计其动态响应。此时，增广系统解存在以下关系：

式（28）右侧不包含δ+与δ+，使得通过增广系统获得的转子角上限值和下限值的差值在动态过程中不会减小。因此，对应的解有界充分条件也仅在平衡点满足，其应用与拓展分析大大受限。

从上述讨论可以看到，开环单调系统雅可比矩阵的对角元为负，是满足增广系统解有界的充分条件的前提，有利于保持原系统抗扰动能力。由E′q和Efd构成的电压子系统具有简单的结构特征与较好的稳定性能；而由δ和ω构成的功角子系统贴近耦合振子模型，可利用相应数学成果进行分析［20］。

4 算例分析

本章将在具体算例中应用混合单调分解技术与增广系统解轨迹特征，分析电压动态响应特性。

4.1 调节器时间常数的影响

图2中，Efd的真实时域响应存在反向峰值。这是由于励磁系统的TA小，满足快速调节要求。在2节点系统中令TA分别取1.0、0.5、0.1 s，其他参数和初值不变，Efd的时域响应如图4所示。可以看到，TA越小，峰值出现越快，幅度也越大；解曲线都是收敛的，且估计结果的保守程度随着TA的减小有所改善。这是因为根据约束式（15），收敛域的估算与TA取值无关，包含TA→0的极限情况。

图4 不同TA取值下的Efd时域响应Fig.4 Time-domain response of Efd with different values of TA

4.2 网络拓扑变化后的电压响应

当电网拓扑发生改变时，系统能否从变化前的稳定状态过渡到新的稳定状态值得关注。此时基于平衡点线性化的小干扰分析手段失效，而混合单调系统理论能够提供有效信息，揭示交流系统电压动态固有的鲁棒性。

3机9节 点 系 统［21］的拓 扑 如 附 录A图A5所示，发电机配置比例型电压调节器，令负荷A上的无功功率瞬时增加100 Mvar，系统会经历动态调整过程。由于发电机转子角和转速变化很小，使用3.1节所述的简化模型来分析电压动态响应情况。对应

新的网络拓扑，计算得到以下系数矩阵。

第i台发电机的机端电压幅值函数为：

式中：ci，mn=KX，im KX，in+KY，im KY，in；KX，im和KY，im分别对应KG第i行第m列元素的实部和虚部；ng为发电机总数；E′q，m和E′q，n分别为向量E′q中第m个和第n个元素。

根据式（29），可确定任意ci，mn＞0，因此机端电压幅值函数具有单调性；同时式（30）表明K3是Metzler矩阵。综合以上数值信息，确定式（24）所描述系统的雅可比矩阵存在如下所示的符号特性，进而说明电压动态响应过程具有混合单调特性。

式中：sgn(·)为符号函数；符号+、-、0分别表示对应位置元素的偏导值非负、非正、为零。

在50机145节点系统［22］中，令母线120上的无功负荷增加500 Mvar。取故障后某一时刻的雅可比矩阵数值结果如图5所示，其中正元素用红色方块表示，负元素用蓝色方块表示，零元素用白色用方块表示。可见，系统雅可比矩阵呈现出显著的符号特征与分块结构特征，并且这样的特征在故障后保持不变。

图5 50机145节点系统雅可比矩阵示意图Fig.5 Schematic diagram of Jacobian matrix in 50-machine 145-bus system

通过构造对应的增广系统，可以估计Efd、E′q以及|VG|在包含不确定性下的响应，以及分析系统电压动态收敛情况。在3机9节点系统中，令KA=1，TA=0.1 s，对应新的网络拓扑，找到一组顶点值满足增广系统解有界的充分条件，即

已知负荷增大之前的系统状态为：

式（34）表示的状态值位于式（33）顶点所刻画的区间内，根据增广系统解有界的充分条件及结果，可知3机系统在经历节点5负荷增加100 Mvar事件之后，能从原平衡点运动至新平衡点。以第2台发电机为例，其具体响应如图6所示。图中虚线表示双边包络解，实线表示原系统解。

图6 第2台发电机响应曲线Fig.6 Response curves of the 2nd generator

图6中增广系统提供的双边包络解随时间逐渐靠拢，提供原系统的稳定域信息。这不仅能用于分析加载、切载、扰动后的系统状态轨迹与输出响应分布情况，还可用来研究不确定性的影响。

5 结语

当系统调整引起的功角差变化不大时，电网的电压动态可用一个降阶模型描述，其具有清晰的结构特征与混合单调性质。借助开环单调动态系统与负反馈通路来分解-重构数学模型，可快速构造对应的增广单调系统，从其提供的双边估计获取原系统的响应特征。结合增广系统解有界的充分条件，获得一个粗略的稳定域用于电压稳定分析。

本文提供了一个新的思路来理解电力系统状态演变规律，基于符号特征来分析各部分的作用，对于揭示交流系统电压稳定机理、掌握电压动态固有的鲁棒行为具有重要意义。此外，电压动态系统还可视作由两个单调子系统的负反馈连接，继续分析不变集中渐近稳定点的存在性，相关论证正在进行，将于后续文章进行介绍。

目前的研究结果尚处于起步阶段，后续研究将考虑功角变化的因素，从功角-电压子系统交互的视角观察电网动态响应特征，进一步揭示交流系统功角-电压稳定的数学基础。同时，关注非线性不等式方程组可行域的连通问题与对应的微分方程组解的存在性问题，完善数学层面上的分析。

附录见本刊网络版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），扫英文摘要后二维码可以阅读网络全文。