一元二次方程压轴题解题技巧

文／李 祥

对一元二次方程在中考压轴题中的考查主要体现在两个方面，一是对根与系数关系的考查，二是结合一元一次方程（不等式）、一次函数、二次函数等知识点在实际问题中的综合运用，对能力要求较高。现结合2021 年各地中考题进行解读，希望能帮助同学们更好地解决一元二次方程的压轴题。

例1（2021·四川泸州）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0 的两实数根x1、x2满足x1x2=2，则（x12+2）（x22+2）的值是（ ）。

A.8 B.16 C.32 D.16或40

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，解得m=2 或m=-1，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可。

解：由一元二次方程x2+2mx+m2-m=0 知a=1，b=2m，c=m2-m，

当m=-1时，原一元二次方程为x2-2x+2=0，∵Δ=（-2）2-4×1×2=-4＜0，原方程无解，不符合题意，故舍去。故选C。

利用韦达定理解出m的值是基本要求，而用韦达定理的前提是此一元二次方程有根，这才是考查的难点。因此，把m的值代入方程，验证根的判别式，才能真正确定符合题意的m的值。

例2（2021·重庆）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎。某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）。已知3 份“堂食”小面和2 份“生食”小面的总售价为31 元，4 份“堂食”小面和1 份“生食”小面的总售价为33元。

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？

（2）该面馆在4 月共卖出“堂食”小面4500 份，“生食”小面2500 份。为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低a%。统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4 月相同，“生食”小面的销量在4 月的基础上增加a%，这两种小面的总销售额在4 月的基础上增加a%。……