垂度拉索-惯质阻尼器体系的减振分析

2021-09-27 07:05刘菁，梁栋,2

振动与冲击 2021年16期

刘菁，梁栋,2

(1.河北工业大学土木与交通学院，天津 300401；2.河北省土木工程技术研究中心，天津 300401)

2018 年8 月17 日，受第18 号台风“温比亚”的影响，我国最大跨度斜拉桥苏通大桥有5根斜拉索的阻尼器连接螺栓滑丝脱落，随后在检查中发现共有13个拉索阻尼器发生不同程度损坏[1]。事实上，斜拉索复杂振动造成阻尼器损伤，甚至桥梁损伤的案例此前亦经常出现[2]。如南京八卦洲长江大桥、杨浦大桥等桥梁拉索的油阻尼器都发生过损坏。关于斜拉索减振有两个问题值得关注：一是导致斜拉索大幅或多模态振动的极端天气日趋增多，如截至2018年10月底，有10个台风登陆我国大陆，比常年同期偏多1.4倍以上；二是随着使用年限增加，拉索附加阻尼器中液体渗漏等耐久性问题逐渐显现。因此，在应对极端天气造成的拉索大幅和多模态振动时，现阶段常用的斜拉索外置阻尼装置的减振性能令人担忧。

拉索作为斜拉桥重要的受力构件，具有柔度大、单位长度质量较轻且固有阻尼小(通常约为临界阻尼的1%[3])的特点，很容易产生涡激共振、参数共振[4-5]、尾流驰振、抖振和风雨激振等振动问题[6]。为抑制拉索振动，大跨度斜拉桥都会采取各种拉索减振措施，其中附加外置机械阻尼措施可以直接增加拉索的模态阻尼，是拉索减振措施中最为常用的方法[7-8]。但附加外置机械阻尼仅能使拉索某一阶模态获得最优模态阻尼比，且安装位置一般不超过索长的5%，这极大地限制了黏滞阻尼器的减振效果。

在研究主动、半主动阻尼器的过程中，人们发现负刚度可使阻尼器以更大位移运动，消耗更多能量并实现更大的阻尼比[9-10]。随着力学放大机制(如滚珠丝杠、齿轮齿条、杠杆摆，以及利用流体惯性的惯性泵等)的利用，动力质量可以提供较大的表观质量，相应的惯性力所体现的负刚度效应也逐渐用于结构振动控制。

自2015 年，人们开始尝试将惯质器用于斜拉索减振。Lazar 等[11-12]将调谐质量阻尼器中的质量部分替换成惯质器，得到了调谐惯容阻尼器(tuned inerter damper,TID)。针对拉索第一阶振动模态的减振分析表明，当安装高度相同时，TID 可使拉索获得比传统黏滞阻尼器更高的模态阻尼比。Chen等[13-15]将被动负刚度装置应用于拉索附加阻尼器系统，以克服由于阻尼器安装位置限制而引起的附加阻尼不足的工程问题，并讨论了由于负刚度引起的控制力的非线性对系统分析的影响。Luo 等[16]利用有限元方法研究了3 种惯质器应用于张紧弦的临界阻尼比，分析表明将惯质器应用于拉索减振可获得较好的减振效果。Shi等[17]提出了由提供负刚度的弹簧和油阻尼器合成的负刚度阻尼器，数值分析和试验验证了该阻尼器对拉索第一阶振型的减振性能远优于传统黏性阻尼器。Lu等[18]采用数值方法分析了黏滞惯性质量阻尼器对拉索的减振效果。其中，拉索第一阶模态的最大阻尼比达到了传统黏滞阻尼器的9 倍；甚至当安装位置降低至距索梁交点处的2%索长时，依然表现出了良好的减振效果。莫凯程[19]对利用滚珠丝杠惯性质量阻尼器抑制拉索振动进行了数值仿真和试验验证，结果表明：最优参数不同的惯性质量阻尼器可以大幅提高斜拉索指定阶次的模态阻尼比。崔智鑫[20]用数值方法讨论了3种构型的调谐惯质类阻尼器对拉索第一阶振动的减振性能，指出并联惯质装置优于串联。

目前，利用惯性质量对拉索进行减振的研究还处于起步阶段，大多只开展了理论研究。至于如何在实际拉索减振中实现惯质减振，则还需要开展更加多样化的惯质系统研究。为方便地实现惯质，本文设计了包括齿轮齿条、惯质元件和黏滞阻尼元件在内的实索用惯质阻尼器[21]。齿轮齿条作为放大机构能够承受较大的振动荷载，且制作方便，易于实际工程应用。

1 齿轮齿条和黏滞阻尼组合的拉索惯质阻尼器

当斜拉索发生振动时,齿条将斜拉索索夹处的直线运动传递至齿轮,引起变速齿轮、惯质圆盘及后端黏滞阻尼器叶片的高速转动，惯质圆盘圆周运动产生较大的惯性质量，能够产生明显的负刚度效应。其后端的阻尼器叶片在阻尼液体中旋转产生阻尼力。这些力经变速齿轮放大后再通过齿条传递到斜拉索,从而抑制斜拉索的振动。

本文所采用的惯质阻尼器所使用的齿条和齿轮能够通过一定的齿比组合成为一种力放大的机械结构，能将物理质量较小的旋转飞轮等效为一个虚拟的、具有较大惯性质量的质量块。因此其实际物理质量相比于调谐质量阻尼器质量小得多，安装也相对方便。机械结构如图1所示。本文设计的惯质阻尼器有两部分组成：惯质元件和黏性阻尼元件。该阻尼器对加工精度的要求不高且能承受较大的拉索振动荷载。

图1 拉索-惯质阻尼器的装配简图Fig.1 Assembly diagram of cable-inertial damper

在运动方式上，拉索与齿条间使用球铰连接，使拉索的面内、面外振动均能转化为齿条的上下振动。拉索振动使齿条进行直线往复运动，齿轮将齿条的直线往复运动转化为惯质圆盘旋转运动，同时带动黏滞阻尼元件叶片在阻尼液中做旋转运动，实现惯质元件减振和黏滞阻尼元件减振。r1为驱动齿轮组小齿轮的半径，r2为驱动齿轮组大齿轮的半径，r3为从动齿轮的半径，r4为质量圆盘半径，r5为黏滞阻尼器叶片的半径。

2 拉索惯质阻尼器的力学模型及性能

2.1 力学图示

惯质阻尼器在概念上如图 2所示。由两部分组成：惯质元件Bd和黏性阻尼元件Cd。惯质元件和黏性阻尼元件有同样的振幅、速度和加速度，二者在力学图示上属于并联关系。

图2 惯质阻尼器力学图示Fig.2 Inertial damper mechanics

如图1和图2所示，齿条和第一齿轮将拉索的上下振动转变为输入轴的转动，则输入轴转角φ和扭矩T可表示为

(1)

(2)

式中：l为第一齿轮的周长；x为拉索带动齿条上下运动的位移；F为惯质阻尼器运动端的力的大小。输入轴的转角φ经过第二、第三齿轮的放大作用，使惯质和阻尼叶片的转角为θ，φ与θ的关系为

θ=ngφ

(3)

式中，ng为第二、第三齿轮的加速比，ng=r2/r3。同时，基于能量相等的原则，可得出输入轴与输出轴的扭矩关系。

Tφ=(Ti+Tc)θ

(4)

式中：Ti为惯性扭矩(包含惯质圆盘和阻尼叶片的惯性质)；Tc为阻尼叶片在阻尼液中转动产生的扭矩。将式(3)代入式(4)可得

T=ng(Ti+Tc)

(5)

惯性扭矩Ti与阻尼扭矩Tc可表示为

(6)

(7)

式中：If和Ic分别为圆盘和阻尼叶片的转动惯量；τ为剪切力，τ=ηγ；η为阻尼液黏度；γ为剪切应变率；r为阻尼液片半径。根据式(1)～式(7)，阻尼器产生的阻尼力可表示为

(8)

(9)

惯质和阻尼系数可分别表示为

(10)

(11)

2.2 阻尼器单体力学特性

为说明2.1节所述阻尼器的力学性能，假设当质量圆盘实际质量为10 kg，黏滞阻尼的黏度为η=5 000 Pa·s时，分别有3种工况对阻尼器的力学特性进行讨论。工况一、工况二和工况三的加速比ng分别为2，3和4。在考虑惯质阻尼器的惯质较小，不大幅改变拉索一阶振动频率的情况下，其一阶振动角频率为1.41 rad/s，振幅为0.1 m，阻尼器安装位置处的运动近似为正弦激励，分别给出工况一、工况二和工况三的滞回曲线，如图3所示。同时，也给出了当阻尼器无惯性质量元件和从动齿轮(相当于普通黏滞阻尼器的耗能滞回曲线)。

由图 3可知：式(9)中的第一项由惯质和振动频率的平方组成，实际上是一个在阻尼器的力-位移图中具有负斜率的直线；式(9)的第二项类似于黏滞阻尼器，它的滞回曲线是一个水平椭圆。实际上，惯质元件本身并没有耗能能力，需要与黏性阻尼器组合才能取得一定的耗能效果。考虑机械摩擦阻力的惯质元件，其滞回曲线是具有负斜率的在第二、第四象限的四边形滞回曲线。与具有相同阻尼系数、运动频率和幅度的普通黏滞阻尼器相比，惯质阻尼器在外荷载激励下的力-位移曲线具有自然的负刚度特性，更高的阻尼力峰值。经计算可得，工况一、工况二和工况三中阻尼器的滞回曲线面积，其耗能能力分别是普通黏滞阻尼器的4倍、9倍和16倍。这表明经过驱动、从动齿轮的加速作用，使得黏滞阻尼器的耗能能力得到了提高。

图3 3种工况下惯质阻尼器滞回曲线与普通黏滞阻尼器滞回曲线比较Fig.3 Inertial damper’s hysteresis curve of three cases and compared with viscous damper

3 拉索-惯质阻尼器系统分析

3.1 基本方程

为满足工程应用的需要，设计了平面内斜拉索减振系统，如图4所示。

图4 拉索-惯质阻尼器理论分析模型Fig.4 Cable-inertial damper theoretical analysis model

惯质阻尼器一端安装于拉索另一端安装于桥面，且计算时应考虑惯质阻尼器两端的相对位移、相对速度及相对加速度(即桥面与拉索阻尼器安装位置处的相对位移、相对速度及相对加速度)。同时，设静平衡状态下的索力为T，拉索单位长度的质量为m，索的弦向长度为L=l1+l2，阻尼器的位置在距离拉索桥面锚固端l1位置。考虑拉索垂度、忽略抗弯刚度和自身阻尼的影响。拉索振动产生一个随时间变化的附加张力h(t)，各拉索单元的振动方程可以写为

(12)

式中：F为阻尼器产生阻尼力；y为垂度拉索静态构型；T为拉索弦向张力；h为拉索附加张力，其表达式为

(13)

(14)

(15)

(16)

由拉索阻尼器处的力平衡条件，约去时间项可得式(17)，并将式(15)代入式(17)可得式(18)

(17)

(18)

将式(16)与式(18)联立并化简，可得波数方程为

(19)

3.2 对称模态

波数方程式(19)的解可表示成两个解分支：一支与对称模态相关；另一支与反对称模态相关。在对称模态中，拉索振动与波数方程式(19)中的第二项有关。因此，首先除以sin(βL/2)来消除反对称模态对波数方程根的影响。得到对称模态的波数方程为

(20)

为化简式(20)的右边项，引入式(21)。

(21)

可得

(22)

(23)

3.3 反对称模态

在反对称模态中，将波数方程式(19)除以cos(βL/2)消除对称模态对波数方程根的影响，可得

(24)

为了简化式(24)，代入式(25)

(25)

化简式(24)，可得式(26)，并为方便引入式(27)。

(26)

(27)

使用数值方法，可以计算式(23)和式(26)，本文采用牛顿迭代法对式(23)和式(26)进行求解。此外，当惯质bd→∞或阻尼cd→∞时，对称模态波数方程式(23)为

(28)

式(28)的左端近似为

(29)

(30)

(31)

反对称模态波数方程式(26)为

(32)

满足式(32)可得

(33)

综上所述，在反对称模态中，当无量纲惯质趋近于无穷时，波数会趋近于一定限值，限值与阻尼器安装位置有关。在反对称模态中与对称模态中，波数上限值均可近似为长度l2的无垂度无控拉索的相应波数(相当于拉索被锁定在阻尼器安装位置)，这与文献[23]附加惯质阻尼器的无垂度拉索的分析结果有本质的不同。由于垂度项的存在，高于非惯质最优阶次的波数并没有接近其临近阶次。本文计算有垂度拉索一阶对称模态与一阶反对称模态的数值计算结果与文献[24]中的计算结果是近似一致的。

4 拉索惯质阻尼器的减振性能分析

4.1 惯质阻尼器对拉索振动频率的影响

某实际桥梁工程中的拉索参数，如表1所示。

表1 某实际桥梁工程中的拉索参数Tab.1 Cable parameters in an actual bridge project

为分析简便，规定如下无量纲量

(34)

(35)

(36)

在经过参数最优之后，阻尼器的减振性能能够针对特定振动阶次达到较高的阻尼水平。但是针对风雨激振等引起的高阶振动[25-26]仍需要进行更高阶的广谱减振分析。本文在针对不同安装位置与不同质量比的惯质阻尼器，对多阶减振特性进行分析，并与普通黏滞阻尼器进行比较。

与普通黏滞阻尼器不同的是，惯质阻尼器无论在无垂度拉索中或是有垂度拉索中，惯质阻尼器对频率与波数的影响均不能看成小量，应详细分析惯质对频率与波数的影响。计算结果如表2所示。

表2 各阶振动无量纲频率

图5 有垂度拉索的一阶模态振型曲线Fig.5 Mode shape of cable with sag in first mode

4.2 拉索-惯质阻尼器系统的无量纲波数

图6 黏滞阻尼器拉索无量纲波数曲线Fig.6 Dimensionless wavenumber curve of cable for viscous damper

图拉索无量纲波数曲线Fig.7 dimensionless wavenumber curve of cable for inertial damper

图拉索无量纲波数曲线Fig.8 dimensionless wavenumber curve of cable for inertial damper

图拉索无量纲波数曲线Fig.9 dimensionless wavenumber curve of cable for inertial damper

图拉索无量纲波数曲线Fig.10 dimensionless wavenumber curve of cable for inertial dampe

图11 黏滞阻尼器拉索无量纲波数曲线Fig.11 Dimensionless wavenumber curve of cable for viscous damper

图拉索无量纲波数曲线Fig.12 dimensionless wavenumber curve of cable for inertial damper

图阻尼器拉索无量纲波数曲线Fig.13 dimensionless wavenumber curve of cable for inertial damper

图拉索无量纲波数曲线Fig.14 dimensionless wavenumber curve of cable for inertial damper

图拉索无量纲波数曲线 dimensionless wavenumber curve of cable for inertial damper

可以看出，安装惯质阻尼器后，拉索各阶振动的无量纲波数曲线近似为半圆形，均逐渐趋向于嵌固波数。初始波数低于嵌固波数的，曲线向右侧发展，初始波数高于嵌固波数的，曲线向左侧发展。且安装位置越高，无量纲惯质的数值越大，向左侧发展的曲线条数越多。在向左侧发展的曲线中，其中最低阶次的半径可以较大，但是高于其的阶次半径一般很小，这说明高阶减振效果不佳。