二次函数易错点剖析

王进军

二次函数是中考数学中的“常客”，许多同学在计算中常会出现各种错误，导致失分.本文就二次函数常见易错点剖析如下，以供同学们参考.

一、忽视二次项系数不等于零

例1 已知二次函数y = ax2 - 6x + 3的图象与x轴有交点，则a的取值范围是（ ）.

A. a<3    B. a<3 且a ≠ 0  C. a ≤ 3  D. a ≤ 3 且a ≠ 0

解析：由题意得Δ = （-6）2 - 4a × 3 ≥ 0且a ≠ 0，即a ≤ 3 且a ≠ 0.

故选D.

易错点剖析：欲求a的取值范围，须同时满足函数是二次函数和图象与x轴有交点. 解题时尤其注意不要遗漏第一点.

二、忽视根的判别式

例2 已知抛物线y = [-12x2]  + （6 - [m2]）x + m - 3与x轴有两个交点A，B，且A，B关于y轴对称，求m的值.

解析：因为A与B关于y轴对称，所以抛物线的对称轴为y轴，

即直线 - [6-m22×-12=0]，解得m = 6或m = - 6.

当m = 6时，抛物线的解析式为y = [-12x2] + 3，

此时Δ = b2 - 4ac = 02 - 4 × [-12] × 3 = 6 > 0，方程[-12x2] + 3 = 0有两个不相等的实数根，

即抛物线y = [-12x2] + 3与x轴有两个交点，符合题意.

当m = - 6时，抛物线解析式为y = [-12x2] - 9.

此时，Δ = b2 - 4ac = 02 - 4 × [-12]  × （-9） =  -18 < 0，

方程[-12x2] - 9 = 0没有实数根，

即拋物线y = [-12x2] - 9与x轴没有交点，不符合题意，舍去.

综上所述，m的值为6.

易错点剖析：抛物线与x轴有两个交点，也就是它对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以Δ = b2 - 4ac > 0.如果忽视根的判别式在解题中的作用，可能会扩大解的范围，导致错误.

三、忽视隐含条件

例3 若y关于x的函数y = （a - 2）x2 - （2a - 1）x + a的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值是多少？

解析：当a = 2时，函数的解析式为y = - 3x + 2，

函数图象与y轴的交点坐标为（0，2），与x轴的交点坐标为[23，0] .

当a ≠ 2且a ≠ 0时，函数y = （a - 2）x2 - （2a - 1）x + a的图象与y轴有一个交点（0，a），

此时函数图象与x轴只有一个交点，

则关于x的一元二次方程（a - 2）x2 - （2a - 1）x + a = 0有两个相等的实数根，

所以Δ = [- （2a - 1）]2 - 4 × （a - 2）a = 0，解得a = [-14].

当a = 0时，函数解析式为y = -2x2 + x，其图象与y轴的交点为原点，与x轴的交点为[12，0] .

综上可得，a = 2或[-14]或0.

易错点剖析：题中只提到“y关于x的函数”，并没有指明是二次函数，所以需要分一次函数和二次函数两种情况进行讨论. 另外要注意在二次函数的情况下要分图象与y轴的交点在原点和不在原点两种情况.

能力提升

1. 若二次函数y = mx2 + x + m（m - 2）的图象经过原点，则m的值为（ ）.

A. 0或2      B. 0      C. 2    D. 无法确定

2.已知抛物线y = -2x2 +（4 - a2）x + a - 1与x轴有两个交点A，B，且A，B关于y轴对称，则a的值为（ ）.

A. -2        B. -2或2      C. 2      D. 4

3.已知y关于x的函数y = kx2 - 2（k + 1）x + k + 3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）.

A. k ≤ 1    B. k ≤ 1且k ≠ 0  C. k ≠ 0    D. 无法确定

参考答案：1. C（提示：函数y = mx2 + x + m（m - 2）是二次函数，故二次项系数不等于0.）

2. C（提示：注意Δ = b2 - 4ac > 0. ）

3. A（提示：当k = 0时，函数为一次函数y = -2x + 3，其图象与x轴有一个交点.）