一类非线性广义马尔可夫跳变系统的耗散控制

杨冬梅 李达

摘 要：将耗散理论的二次型供给率中的矩阵Q推广到正定的情况。进而研究了在状态转移概率未知的情况下一类连续时间非线性广义马尔可夫跳变系统的严格耗散控制问题。在应用范围更广的Willems耗散性定义的基础上，首先基于一类Lyapunov函数，给出了相应的随机容许的条件，然后设计导数比例反馈控制器，通过一系列的矩阵构造和合同变换，将双线性矩阵不等式（BMI）转化为可用LMI工具箱解决的线性矩阵不等式（LMI）。最后通过数值算例并结合Matlab给出实例，证明其可行性。

关键词：非线性广义马尔可夫跳变系统;转移概率部分未知;耗散控制;P-D反馈

Abstract：The matrix Q in the quadratic supply rate of dissipative theory is extended to the case of positive definite. Furthermore， the strictly dissipative control problem for a class of continuous time nonlinear singular Markov jump systems with unknown state transition rates is studied. Based on the more widely used definition of Willems dissipativity， firstly， based on a class of Lyapunov functions， the stochastically admissible conditions are given， and then the proportional derivative feedback controller is designed. Through a series of matrix construction and contract transformation， bilinear matrix inequality （BMI） is transformed into linear matrix inequality （LMI） which can be solved by LMI toolbox. Finally， a numerical example is given to prove its feasibility.

Key words：nonlinear singular Markov jump systems; partly unknown transition rates; strict dissipativity; P-D state feedback

近年來，马尔可夫系统由于可以更好的描述复杂系统而受到广泛关注[1]。耗散系统理论在广义系统中也有诸多的应用[2]，由于耗散性存在的一般性引起学者关注。一些学者考虑了广义马尔可夫系统具有耗散性质的稳定性问题[3-5]，文献[6][7]基于Q <0得到一些线性矩阵不等式（LMI）解决了广义马尔可夫的输出耗散反馈控制相关问题。文献[8][9]讨论在状态转移概率未知时，考虑了近似求解双线性不等式（BMI）的方法和量化输入输出反馈的相关问题。文献[10]将耗散控制理论应用在一类非线性随机系统上，得到相关结果。但是，在非线性广义马尔可夫跳变系统耗散性的研究方面比较少，特别是当二次型供给率中的矩阵Q>0的情况，是有待进一步研究的。

研究了在状态转移概率未知下一类非线性广义马尔可夫跳变系统的严格耗散问题。基于广义马尔可夫系统随机容许的充分条件，并针对耗散系统二次型供给率中的矩阵Q>0的情形，给出了将不能用Schur补引理和线性矩阵不等式方法的双线性矩阵不等式转化为可用LMI工具箱的思路。最后通过数值算例，证明结论有效。

1 问题描述与准备知识

考虑下面连续时间广义马尔可夫跳变系统：

5 结 论

研究了非线性广义马尔可夫跳变系统的耗散控制问题。通过构造一系列的矩阵，然后进行合同变换，得到了使系统能够渐近稳定且严格耗散的充分条件，并可用LMI工具箱求解。也给出了控制器设计方法。最后通过数值算例证明其有效性。

参考文献

[1] 赵建喆， 吴辰铌， 王兴伟， 等. 基于马尔可夫毯的贝叶斯网络结构学习算法[J].东北大学学报（自然科学版），2020，41（04）：464-469.

[2] 黎虹，史书慧.基于PI控制器的不确定广义系统的耗散控制[J].控制工程，2018，25（09）：1634-1637.

[3] 李景浩.若干类广义马尔可夫跳变系统的稳定性分析[D].沈阳：东北大学，2013.

[4] LI X， JIANG N. Strictly dissipative control for Markovian jump descriptor systems[C]// Chinese Control Conference. IEEE，2016：1804-1807.

[5] FU L， MA Y C.Dissipative filtering for singular Markov jump systemswi the generally uncertain transition ratesvianew integral inequality approach[J].Journal of the Franklin Institute，2018，355（15）：7354-7383.

[6] SEOK I， PARK P. Output feedback control for descriptor fuzzy systems with Markovian jumps[C]// European Control Conference. IEEE，2019：25-28.

[7] PARK C， PARK P.Dynamic output-feed-back dissipative control for singularmarkovian jump systems[C]// Conference of the Society of Instrument and Control Engineers of Japan. IEEE，2018：584-589.

[8] CHEN J， LIN C， CHEN B， et al. Output feedback control for singular Markovian jump systems with uncertain transition rates[J]. IET Control Theory & Applications， 2016，10（16）：2142-2147.

[9] 孙维阳，刘雨.一类转移概率部分未知的Markov跳跃系统的输入输出量化反馈控制[J].系统工程与电子技术，2019，41（08）：1858-1864.

[10]LIN Z， LIU J， NIU Y. Dissipative control of nonlinear stochastic systems with Poisson jumps and Markovian switchings[J]. IET Control Theory & Applications，2012，6（15）：2367-2374.