一类典型磁力摆的全局动力学行为分析*

秦波 尚慧琳 蒋慧敏

(上海应用技术大学机械工程学院,上海 201418)

考虑一类等边三角形排布的典型磁力摆,基于对其全局动力学行为的分析,研究初值敏感性现象及其机制.首先,考虑磁铁位置可以移动,利用牛顿第二定律建立该磁力摆动力学模型.进而,分析不同的磁铁位置所对应的平衡点个数及其稳定性.在此基础上,数值模拟初值敏感性现象和不动点吸引域随磁铁位置移动的演变规律.最后,通过实验验证该现象.研究发现,该类磁力摆普遍存在着多吸引子共存现象,其初值敏感性可归因于其不动点吸引域的分形,其中各不动点位置与磁铁中心投影到磁铁所在平面上的位置并不重合,而是存在微小的偏差;当摆球位置可投影到3 个磁铁对应的等边三角形的形心时,3 个吸引子的吸引域尺寸相当,呈中心对称状且分形,因此初值敏感性现象很明显;移动磁铁位置会直接影响到各吸引域的形态,即离摆球平衡位置投影点近的磁铁对摆球影响最大,离该位置最近的吸引子吸引域会明显变大,而其他吸引子的吸引域则会被侵蚀消减.本文的研究在磁力摆装置设计方面具有一定的应用价值.

1 引 言

单摆是最简单的和最丰富的物理系统之一[1].其中典型磁力摆作为常见的物理实验装置[2,3],通常由一个摆球和若干个永磁铁组成,摆球通过吊线固定,永磁铁则放置在底座上,以磁力作用在摆球上[4,5].同时,磁力摆系统也代表了……