集合与常用逻辑用语常见典型考题赏析

■黄信璋

集合是高中数学的重要概念,是研究数学问题的基础和工具。集合是每年高考的必考内容,高考主要考查两个方面:一是集合本身的知识,二是集合语言与其他数学知识的综合运用。高考对常用逻辑用语的考查主要涉及四种命题的关系、全称量词与存在量词的关系、命题的否定等。下面举例分析集合与常用逻辑用语的常见典型考题,供大家学习与提高。

一、集合的含义

判断元素能否构成集合,关键是集合中元素的确定性,即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素,若标准明确则可以构成集合,否则不可以构成集合。当一个集合中的元素含字母时,可利用集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值,再利用集合元素的互异性进行检验。两个集合相等,元素必须相同。解决集合问题,要注意集合元素的“三性”,即确定性,互异性和无序性。

例1(多选题)已知集合A中的元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是( )。

A.-2∈AB.-11∉A

C.3k2-1∈AD.-34∉A

解:令3k-1=-2,解得k=-,而,可知-2∉A。令3k-1=-11,解得k=-∉Z,所以-11∉A。由k2∈Z,可得3k2-1∈A。令3k-1=-34,解得k=-11,而-11∈Z,所以-34∈A。应选B,C。

跟踪训练1:已知x,y都是非零实数,可能的取值组成的集合为A,则下列判断正确的是( )。

A.3∈A,-1∉AB.3∈A,-1∈A

C.3∉A,-1∈AD.3∉A,-1∉A

提示:当x>0,y>0时,z=1+1+1=3;当x>0,y<0时,z=1-1-1=-1;当x<0,y>0时,z=-1+1-1=-1;当x<0,y<0时,z=-1-1+1=-1。据此可得集合A={-1,3}。故3∈A,-1∈A。应选B。

二、集合的表示

用列举法表示集合应注意两点:(1)弄清集合中的元素是什么,是数,是点,还是其他元素;(2)集合中的元素一定要写全,但不能重复。用描述法表示集合,应弄清集合的属性,是数集,点集,还是其他类型的集合。一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序实数对来代表其元素。当集合……