一元二次函数、方程和不等式常见典型考题赏析

■张普怀

本章的主要解题类型有两个方面:一是一元二次方程与一元二次不等式的基本解法,二是利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式问题。下面就一元二次函数、方程和不等式问题的常见典型考题举例分析,供大家学习与提高。

题型一:三个“二次”的关系

已知一元二次不等式的解集,可知a的符号和方程ax2+bx+c=0 的两实根,由根与系数的关系可知a,b,c之间的关系。

例1已知不等式ax2-bx+2<0的解集为{x|1

解:由一元二次不等式的解集,可知a的符号和方程ax2-bx+2=0的两根,利用根与系数的关系可求a,b的值。

(方法1)由题设条件知a>0,且1,2 是方程ax2-bx+2=0的两实根。

(方法2)根据题设条件,可把x=1,x=2 分别代入方程ax2-bx+2=0,可得

跟踪训练1:若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3 或x≥4},求不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集。

提示:因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3 或x≥4},所以a<0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根。由根与系数的关系可得解得

所以不等式bx2+2ax-c-3b≥0可化为-ax2+2ax+15a≥0(a<0),即x2-2x-15≥0。由此解得x≤-3或x≥5,故所求不等式的解集为{x|x≤-3或x≥5}。

题型二:用不等式(组)表示不等关系

必须是具有相同性质,可以比较大小的两个量才可用不等式来表示,没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示;在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位的统一。

例2某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10 元销售,每天可销售100 件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润。已知这种商品的售价每提高1 元,销售量就相应减少10 件。若把提价后商品的售价设为x元,怎样用不等式表示每天的利润不低于300元?

解:由“这种商品的售价每提高1 元,销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润,由“每天的利润不低于300 元”确定不等关系,即可列出不等式。