可调泊松比圆弧星型结构的参数化设计

刘海涛 王彦斌 张争艳

1.河北工业大学机械工程学院，天津，300401 2.河北工业大学国家技术创新方法与实施工具工程技术研究中心，天津，300401

0 引言

力学超材料[1-2]是从各种特殊的微观结构中获得独特力学特性的一类人工材料。与传统的材料科学不同，力学超材料的设计方法从微观结构出发获得传统材料不具有的力学性能，例如低密度兼顾高刚度和高强度[3]、负泊松比[4]、负热膨胀[5]和压扭转换[6]等特殊的力学特性。虽然现有的力学超材料难以通过传统的制造工艺制备，但3D打印技术让研究者可以在不考虑工艺和可制造性的前提下进行力学超材料的设计。

负泊松比力学超材料在受到压缩时截面收缩。近年来，研究者设计出了许多类型的负泊松比结构：内凹六边形结构[7]、手性结构[8]、反手性结构[9]、双箭头结构[10]等。WANG等[11]提出了一种通过嵌锁搭接得到三维内凹六边形的方法，并通过有限元仿真和实验验证了方法的正确性。

星型结构作为一种典型的负泊松比力学超材料已经被广泛研究。THEOCARIS等[12]回顾了数值均匀化方法，并将其用于星型结构。FU等[13]提出一种将菱形构型与传统构型相结合的结构。为解决星型结构尖角导致的应力集中和难以制造等问题，WANG等[14]提出一种光滑花瓣型结构，通过等几何形状优化得到了提高连接顺滑度、改善结构性能的方法。AI等[15-16]研究了具有可变力学性能的双材料星型结构，设计了3种新的星型结构和1种具有可变热力学性能的新型三维超材料。颜芳芳等[17]设计出负泊松比柔性蜂窝结构，并将其应用到变体机翼。沈建邦等[18]研究了具有负泊松比效应可变弧角曲边内凹蜂窝结构的力学性能。

为了防止出现应力集中现象，笔者设计出一种具有可调泊松比的圆弧星型结构，采用能量法对可调泊松比星型结构进行理论计算，推导出该结构在不同几何参数下的泊松比。有限元仿真和实验验证了理论的正确性。

1 结构设计

可调泊松比圆弧星型结构如图1a所示，其单胞的几何参数见图1b，其中，h为单胞高度的1/2，ah为圆弧杆圆心到垂直对称轴或水平对称轴的距离，bh为直杆起始点到单胞中心的距离，w为杆的宽度。h表征单胞的大小，系数a、b表征单胞的形状，是影响结构泊松比的主要因素。受到几何构成的限制，a、b的取值范围分别为是[0.5, 1]和[0, 1]。

(a)阵列图 (b)几何尺寸

通过几何计算得到派生的角度θ，如图2所示，系数a、b和角度θ的关系为

图2 几何尺寸与角度θ的关系

(1)

根据三角函数变换得到sinθ与系数a、b的关系式：

[a2+(b-a)2]sin2θ-2a(1-a)sinθ-

(b-a)2+(1-a)2=0

(2)

求解式(2)可得角度θ(取值范围为[0, π/2])：

2 理论分析

应用能量方法分析结构的变形机制，基于单胞的对称性，对该结构的1/4进行分析。细长杆受力时，结构变形主要由杆件弯矩引起，正应力和切应力引起的变形相对较小。基于文献[18-20]简化的理论推导方法，本文在理论推导过程中忽略正应力和切应力对杆件的影响。如图3a所示，对节点施加集中力FN时，由于结构的对称性，节点A和节点D不会旋转。对1/4单胞进行受力分析时，A点处的截面受到大小为FN/2的集中力和大小未知的弯矩M，见图3b。

(a)整体结构受载 (b)1/4结构受载

为了描述杆AB、CD和BC的弯矩，建立图3a所示的以A和D为原点的直角坐标系和以BC段弧线圆心E为原点的极坐标系，则段杆AB、BC、CD的弯矩分别为

MAB(y)=FNy/2-M

(3)

MBC(φ)=FNh[a-(1-a)sinφ]/2-M

(4)

MCD(x)=FN(bh+xtanθ)/2-M

(5)

其中，y和x的取值范围是[0,h1]，h1=ha-h(1-a)sinθ；角度φ的取值范围是[-θ,θ+π/2]。

节点A在集中力FN作用下的旋转角是0，基于该边界条件可得弯矩M的大小。施加大小为1的单位载荷，如图4a所示，可以得到节点A的旋转角度的表达式且转角为零：

(6)

式中，E为材料的弹性模量；I为杆件的抗弯刚度。

求解式(6)可得

FNh(1-a)(sinθ+cosθ)]=

(7)

解得

M={FNh1[(1+tanθ)h1+2bh]/cosθ+

2FNh2(1-a)[a(2θ+π/2)+(1-a)(sinθ+cosθ)]}·

[8h1/cosθ+4h(1-a)(2θ+π/2)]-1

(8)

进一步地，可得节点A、D之间的相对位移。如图4b、图4c所示，单独作用大小为1的单位力(一侧结构受1/2的单位载荷作用)以计算两节点在Y和X方向上的相对位移ΔYY和ΔYX。其中，单位力作用时的弯矩为

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(a)承受单位弯矩 (b)承受Y向单位力

2h2(1-a)[a(2θ+π/2)+(1-a)(sinθ+cosθ)]}·

[8h1/cosθ+4h(1-a)(2θ+π/2)]-1

(9)

在Y方向施加单位力时，各杆的弯矩为

(10)

(11)

(12)

在X方向施加单位力时，各杆的弯矩为

(13)

(14)

(15)

最终，可得A点、D点Y方向和X方向的相对位移ΔYY和ΔYX：

(16)

(17)

表示相对位移ΔYY、ΔYX大小的量纲一系数ΔYYEI/(FNh3)和ΔYXEI/(FNh3)随系数a和b的变化如图5、图6所示。系数a取值为1且系数b取值约为0.55时的位移ΔYY最小，即等效弹性模量最大。系数a取最小值、系数b=0时，ΔYY最大。

图5 受力时ΔYYEI/(FNh3)随系数a和b的变化

图6 受力时ΔYXEI/(FNh3)随系数a和b的变化

受到Y方向载荷时，X方向位移ΔYX受系数a的影响较小；随着系数b的增大，ΔYX明显减小，且在系数b大于0.55时ΔYX为正值，即泊松比为负，此时结构具有负泊松比特性。

二维结构泊松比的计算公式为

(18)

式中，Lx、Ly分别为单胞结构在X、Y方向的宽度，Lx=Ly。

将数据代入式(18)得到作用集中力下结构泊松比与系数a和b的关系，如图7所示。系数a增大或系数b减小时，结构的泊松比都会减小；a=1，b=0时，结构泊松比达到理论上的最小值-1。

图7 结构泊松比ν随系数a和b的变化

3 有限元模拟

为了验证理论结果的正确性，开展了一系列有限元仿真。选用的材料为光敏树脂，其弹性模量E=2.65 GPa，泊松比ν0= 0.4。模拟不考虑材料自重、制造缺陷和预应力的影响。模拟过程中，单胞高度h(h=30 mm)和杆件宽度w(w=1 mm)不变。有限元仿真的边界条件为Y方向下端固定，上端施加0.6 mm位移(1%的拉伸应变)。网格类型为二次四面体实体单元C3D10。a=0.5且杆AB与杆CD平行时，网格精度对结构泊松比的影响规律如图8所示，可以看出，网格尺寸为0.25 mm时，结构泊松比的模拟结果趋于稳定，故网格尺寸设置为杆件宽度的1/4，即0.25 mm可以保证有限元仿真的精度。

图8 网格尺寸对结构泊松比ν模拟结果的影响

图9 结构泊松比ν随系数b的变化(a=1)

图10 结构泊松比ν随系数a的变化(杆AB与杆CD平行)

如图9、图10所示，有限元结果与理论结果吻合较好。系数a趋于1且b=0时，结构泊松比趋于-1。值得注意的是，在直杆平行的情况下(图10)，系数a接近1时，泊松比接近-1，且圆弧的设计避免了尖角较为严重的杆件重叠现象，这意味着较小的圆弧可以在不明显削弱负泊松比效应的同时提高此结构的可制造性。

实际工程应用对超材料泊松比有不同的需求，例如在材料受到轴向压缩时，横截面不变即零泊松比。对此结构来说，可以得到特定泊松比的系数a和b组合并不是唯一的。不同结构泊松比分的系数a和b的曲线见图11。

图11 不同泊松比的系数a和b的组合曲线

4 实验分析

为了验证理论结果和有限元仿真的正确性，采用3D打印技术制备了一组圆弧星型结构试件。试件由上海联泰科技股份有限公司生产3D打印机(Lite 600)进行制备，材料为光敏树脂(DSM IMAGE800)。图12所示为高度30 mm、宽度1.5 mm，a为0.5、0.6、0.7、0.8、0.9的试件(从左往右)。测定泊松比时，将试件在Y方向上的一端固定，另一端加载以产生一定位移，测量受载前后Y、X方向结构宽度之差，得到泊松比的实验值。实验所得数据点与相应的理论结果和有限元仿真结果如图13所示。理论分析、有限元分析和实验结果一致性较好，说明了理论方法和有限元仿真的正确性。

图12 两直杆平行的3D打印试件

图13 结构泊松比ν随系数a的变化的实验验证(杆AB与杆CD平行)

5 结论

(1)利用能量法推导出结构在Y方向和X方向的相对位移，并用有限元软件进行数值模拟，得到不同几何参数下的结构泊松比，验证了理论推导的正确性。

(2)采用半径较小的圆弧杆代替传统星型结构的尖角时，结构的负泊松比效应小幅减弱，以圆弧代替尖角的设计提高了结构的可制造性。

(3)基于特定的泊松比，可以得到一系列的几何参数组合，在此基础上根据实际需求择优选取几何参数以满足工程需要。