基于改进高斯随机测量矩阵的切削力信号压缩感知方法

吴凤和 张 宁 李元祥 张会龙 郭保苏

1.燕山大学机械工程学院，秦皇岛，0660042.河北省重型智能制造装备技术创新中心，秦皇岛，066004

0 引言

信息物理融合、工业互联网、物联网等先进技术的部署和实施均需以数据为基础，而在机械加工领域，切削力是最为稳定和可靠的关键信号之一，可为刀具磨损状态监测[1]、颤振监测与抑制[2]、加工表面质量控制[3]等提供重要信息。板式测力仪是目前最常用的测力设备，但它存在限制工件尺寸、易受切削液腐蚀的问题。为克服上述缺陷，有学者考虑将力感知元件和信号采集传输装置与机床刀具或刀柄高度集成，形成旋转式测力系统[4-5]，随同加工过程进行切削力测量，但刀具切削时高速旋转，难以采用有线方式传输信号，通常利用无线通信协议将信号传输至上位机端进行处理及可视化。旋转式测力系统长期在高速、高频条件下运行，且集成硬件性能有限，依据Nyquist-Shannon采样定理限定的频率采集数据可能导致数据冗余问题，甚至受信号传输单元带宽限制，发生数据堵塞现象。

近些年提出的压缩感知理论(compressed sensing，CS)[6-7]可以较好地解决上述问题。充分开发信号稀疏特征，将信号压缩与感知过程进行融合，从而突破Nyquist-Shannon采样定理频率限制，实现压缩式采集，结合高效的重构算法，可实现信号的无失真测量，该过程主要包含信号稀疏模型创建、稀疏信号压缩测量、压缩信号重构三个步骤。

作为CS框架的关键部分，测量矩阵的选择和设计直接影响信号压缩及重构效果。常用测量矩阵类型有完全随机测量矩阵、结构化随机测量矩阵以及确定性测量矩阵[8]。以高斯矩阵、Bernoulli矩阵为代表的完全随机测量矩阵在低维或图像信号的压缩感知方面应用广泛[9-10]，具有测量数少而重构精度高的特点，而局限性在于大存储量和较高的矩阵随机性；结构化随机矩阵包括部分正交矩阵、部分Hadamard矩阵[11]等，该类矩阵通过对高维正交矩阵进行降维和归一化得到，具备良好的重构精度，但其矩阵构造过程对正交矩阵维数较为敏感，因此应用场合有限；确定性测量矩阵包括循环测量矩阵、Toeplitz矩阵[12]等，该类矩阵易于硬件实现，但受限于现有条件，其矩阵构建速度较慢，难以满足信号传输的实时性需求，同时测量值的取值范围有限从而影响压缩效果。此外，也有研究设计了针对信道估计[13]、雷达[14]、振动[15]等特定信号的专用测量矩阵，然而，目前鲜有学者针对切削力信号的压缩测量矩阵展开研究。

本文基于CS理论，首先分析切削力信号稀疏性，采用离散傅里叶变换(discrete Fourier transform, DFT)正交基构建切削力信号在频域上的稀疏表示模型；然后考虑加工过程对切削力信号传输的实时性需求，且考虑不同主轴转速和刀具齿数下的信号采样数据量不同，选择高斯随机矩阵作为基础测量矩阵，并提出一种近似正交三角(QR)分解与最小相关系数法相结合的高斯随机测量矩阵优化方法，进一步提高测量矩阵性能，实现切削力信号压缩测量；最后利用压缩采样匹配追踪算法对切削力信号进行高效重构，并通过现场采集的切削力信号对其有效性进行验证。

1 压缩感知理论

任意一个一维离散信号可以由一组正交基线性表示：

(1)

式中，N为原始信号长度；x为一维离散时间信号，维度为N×1；Ψ为稀疏基，Ψ=[ψ1ψ2…ψN]，维度为N×N，ψi为列向量；α为稀疏向量，维度为N×1，αi为元素。

取一与Ψ不相干的矩阵，将原始信号x映射至低维空间：

(2)

(3)

式(3)的常用求解方法包括以基追踪(basic pursuit, BP)为代表的最优化逼近方法、以正交匹配追踪(orthogonal matching pursuit, OMP)[16]为代表的贪婪算法以及以迭代硬阈值(iterative hard thresholding, IHT)为代表的非凸方法。综合考虑测力系统硬件水平和重构效率需求，本文选择贪婪算法中的压缩采样匹配追踪(compressive sampling matching pursuit, CoSaMP)[17]算法作为信号重构算法。

2 切削力信号稀疏表示

具有稀疏性的信号表现为仅有少数元素非零。一般情况下自身具备稀疏性的信号较少，但经过某种变换可以挖掘信号的稀疏特征。对于一维信号，通常借助正交变换方法实现信号稀疏表示，如傅里叶变换、正(余)弦变换和小波变换。本文分别利用上述方法进行切削力信号稀疏建模，分析不同正交基下的切削力信号稀疏表示效果，并最终选择DFT基作为稀疏正交基。

通过切削实验并采用自主设计的旋转式测力系统[18]获取切削力信号，初始采样频率为4 kHz，从中选取2 s数据，并以500 Hz频率对其重新采样，得到原始切削力信号，如图1所示。将其绝对值按降序排列后如图2所示。可以发现，原始切削力信号中的绝大多数元素均为非零元素，因此，切削力信号在时域上是非稀疏的。

图1 原始切削力信号

图2 排序切削力信号

分别利用DFT、离散余弦变换(discrete cosine transform, DCT)和离散小波变换(discrete wavelet transform, DWT)获取切削力信号的频域波形，其中DWT基于Haar小波函数，分解等级为10级。对变换系数按绝对值降序排列后如图3～图5所示，可以看出三种情况下的变换系数均呈现快速下降趋势，仅包含少量大系数值。以fmax表示变换系数最大值，在DFT、DCT、DWT三种变换下，变换系数值大于0.01fmax的数量分别为103、105和249。可见，经过DFT处理的切削力数据稀疏性更佳，稀疏度K为103。

图3 切削力信号DFT排序

图4 切削力信号DCT排序

图5 切削力信号DWT排序

3 改进高斯随机测量矩阵设计

为实现信号的高精度重构，测量矩阵设计需符合两项要求：一是测量矩阵与稀疏变换基不相干；二是观测矩阵应符合约束等距性(restricted isometry property, RIP)。本文以高斯随机测量矩阵为基础构建观测矩阵，为了实现切削力信号的精确重构，其测量值需满足：

M≥CKln(N/K)

(4)

式中，C为一常数。

对于图1所示的切削力信号数据，其信号长度N=1000，稀疏度K=103，经计算仅需测量M=235个数据点即可以较高的精度重构出原始切削力信号，压缩比可达76.5%。

现有理论证明，M满足式(4)的高斯随机测量矩阵能以较高的概率符合RIP条件。为进一步提高测量矩阵的信号压缩性能，使信号重构时的精度更高，本文结合近似QR分解和最小相关系数法对高斯随机测量矩阵进行改进。

根据矩阵分解理论，矩阵的相干性很大程度上取决于矩阵的最小奇异值，表现为最小奇异值愈大则矩阵的相干性愈弱。因此，从降低测量矩阵与稀疏变换基相干性角度出发，尽可能增大高斯随机测量矩阵的最小奇异值，可增强矩阵独立性，从而使矩阵进一步满足RIP条件。

考虑到QR分解能够增大矩阵奇异值，首先利用标准QR分解将ΦM × N分解如下：

Φ=(Q·R)T

(5)

式中，Q为方阵，且QH·Q=Ir；R为具有正对角元的上三角阵。

(6)

(7)

(8)

近似QR分解及最小相关系数法相结合的高斯随机测量矩阵优化方法流程如图6所示。

图6 测量矩阵优化流程图

4 算法实现步骤

利用本文提出的改进高斯随机测量矩阵实现切削力信号压缩感知的步骤如下：

(1)基于实验获取的切削力信号，利用DFT正交基对该信号进行稀疏表示，获取其先验知识和稀疏度K。

(2)为使测量矩阵进一步满足RIP条件，结合近似QR分解及最小相关系数法对高斯随机测量矩阵进行优化。

(3)借助上述改进的测量矩阵，利用y=Φ·x，对原始信号x进行压缩测量，将其从N维信号映射为M维压缩信号y。

(4)通过无线传输网络将压缩信号y传输至上位机端，综合测量值y、测量矩阵Φ和稀疏基Ψ，并通过CoSaMP算法重构获得稀疏向量α。

5 实验及结果分析

为了验证改进测量矩阵对切削力信号的压缩性能，针对图1中的实测切削力信号，分别通过标准高斯随机测量矩阵和近似QR分解、最小相关系数法以及结合近似QR分解与最小相关系数法优化的高斯随机测量矩阵进行压缩测量，计算四类矩阵的相关系数μt，它与对应测量矩阵列向量组合数量T的分布关系如图7所示。

(a)高斯随机测量矩阵

为了验证改进测量矩阵的适用性，选择长度N=100、稀疏度K=10的一段信号作为测试样本，分别通过四类测量矩阵进行压缩测量，其相关系数分布如图8所示。

由图7、图8可以看出，在图1实测切削力信号和测试信号数据下，四类测量矩阵的最大相关系数分别为0.4381、0.4276、0.3830、0.3719和0.6434、0.5083、0.4103、0.3421。因此，本文提出的优化算法在降低测量矩阵相干性方面效果明显，由该测量矩阵构建的观测矩阵可进一步满足RIP条件，从而准确重构原始信号。

(a)高斯随机测量矩阵

为进一步测试改进测量矩阵的使用性能，分别利用四类测量矩阵对图1实测切削力信号和测试信号进行压缩采集。定义压缩比

c=(N-M)/N

(9)

设定c为0.5、0.55、0.6、0.65、0.7、0.75、0.8，在四种情况下分别重构1000次，取其重构平均值和均方值误差，实测切削力信号和测试信号的重构结果分别如表1～表4所示。

由表1～表4可知，随着信号压缩程度升高，四类测量矩阵的重构误差均有所增大，其中，经过本文方法改进的高斯随机测量矩阵无论在重构平均值误差还是在重构均方值误差方面的表现均优于其他三类矩阵，它不但重构精度较高，且在信号恢复时的稳定性更佳。

表1 实测切削力信号平均值误差

表2 实测切削力信号均方值误差

表3 测试信号平均值误差

表4 测试信号均方值误差

在重构算法选择方面，当压缩比c为0.5、0.55、0.6、0.65、0.7、0.75时，采用OMP和CoSaMP两种算法对图1所示的切削力信号进行重构，每个压缩比水平下运行25次，结果取其均值，对比两种算法在重构时间及重构精度(以信号重构均值偏差为评价指标)方面的差异，结果如图9所示。

图9数据表明，伴随着信号压缩程度不断增加，CoSaMP算法的重构效率显著提高，而重构均值偏差略有增大。在压缩比c=0.75的情况下(接近测量矩阵限定的最高压缩比)，CoSaMP算法重构所需时间为0.027 16 s，相比于OMP算法的0.713 12 s，重构效率大大提高；在重构精度方面，CoSaMP算法的重构均值偏差为2.028%，相比于OMP算法的1.125%仅增加1%；考虑到工业现场对力信号的传输效率要求较高，而两种算法的重构准确性差距较小，所以CoSaMP算法同OMP算法相比更加适合实际切削场合的应用。

(a)重构时间对比图

在压缩比c=0.7的条件下，利用本文提出的切削力信号压缩感知方法对图1中的切削力信号进行重构，重构前后信号对比如图10所示，重构误差为2.10%，重构时间为0.016 s；另取一段实测钻削力信号(稀疏度K=201)，在c=0.6的条件下对其进行重构，重构前后信号对比如图11所示，重构误差为1.1%，重构时间为0.052s。综上，本文提出的切削力信号压缩感知方法能够满足切削力信号的传输精度和实时性需求。

图10 铣削力信号重构结果对比图

图11 钻削力信号重构结果对比图

6 结论

针对高速切削中依据传统Nyquist-Shannon采样定理采集数据易造成信号冗余和数据堵塞问题，本文将压缩感知理论应用于切削力信号采集过程。针对DFT正交基稀疏表示的切削力信号，选择高斯随机矩阵作为基础测量矩阵，并提出近似QR分解与最小相关系数法相结合的优化方法对高斯随机矩阵进行重新设计，使其进一步符合RIP条件，并极大地压缩了数据量，结合高效的CoSaMP算法，实现力信号快速重构。仿真测试结果表明，改进的高斯随机测量矩阵相较于其他三类矩阵具有更高的重构精度和稳定性，利用本文提出的方法对测力系统采集的切削力信号进行压缩重构，重构误差为2.10%，重构时间仅为0.016 s，可满足工业现场对切削力信号的传输精度和实时性需求，此外，本文提出的压缩感知方法也可为振动、声发射等信号的高效采集与传输提供借鉴。