滚动直线导轨副的滚道中心距误差与承载性能的关系

梁 医 王旭东 王晓艺 冯健文 冯本哲 欧 屹 冯虎田

1.南京理工大学机械工程学院，南京，2100942.广东凯特精密机械有限公司，江门，529100

0 引言

滚动直线导轨副的刚度、摩擦力和运动精度直接影响高档数控机床及高精密器械的承载性能和运动精度，故对导轨副的刚度及摩擦力等关键承载性能指标有较高的要求[1-2]。国内外学者对导轨副刚度的理论仿真和试验检测有较为充分的研究，解决了应用赫兹接触理论进行静刚度仿真的问题，开展了刚度的理论和试验对比验证，研究了摩擦力的影响因素。ZOU等[3]、OHTA等[4]、陆艮峰[5]主要关注磨损、滑块变形、外载荷以及曲率比(滚道圆弧半径和滚珠直径的比值)对接触刚度的影响。SHAW等[6]研究了无预载的导轨副静刚度并提出计算接触角的方法。王民等[7]、张巍等[8]基于赫兹接触理论对滚珠和滚道的接触面进行了力学分析与变形分析，计算了导轨在不同预紧力下的临界载荷和刚度变化，分析了预紧力和接触角对五类刚度的影响规律。WANG等[9]在计算导轨副刚度时提出的力学模型假设滑块和轨道是刚性的，只在滚道与球的接触区域会产生变形。耿宝龙[10]对导轨副在垂直集中载荷、扭矩影响下的滚珠接触力进行了分析和计算。PAWEL等[11]提出一种基于等效接触模型并带预紧力的直线导轨刚度简化模型，以节省计算时间。DADALAU等[12]、MAHDI等[13]、王禹林等[14]研究了滚动直线导轨副法向、横向、扭转静刚度的检测方法和装置。CHEN等[15]、SUN等[16]通过有限元仿真和试验方式对比研究了导轨副的静刚度。OLARU等[17]、MAHDI等[18]研究了预紧力、载荷、润滑剂黏度、速度等对摩擦力的影响规律。TETSUYA等[19]、龚灿[20]、高永坤[21]获得了滚珠节距、滚道表面粗糙度、曲率比、滚珠过盈量等结构参数对摩擦力的影响。上述文献研究的对象是具有理想尺寸、不带误差的导轨副，而真实的零件是包含误差的，因此已有的研究模型过于理想，不符合工程中的真实情况。

本文基于赫兹接触理论及滑块裙部弹性变形理论，建立导轨副滚道中心距误差与承载性能的关系模型，深入分析导轨副滚道中心距误差和滚珠过盈量对导轨副摩擦力及静刚度的影响，通过对比试验数据和理论计算结果来验证理论模型的正确性。

1 滚道中心距误差与承载性能的理论模型

1.1 滚道中心距误差与静刚度的理论模型

滚动直线导轨副由导轨、滚动体、滑块、返向器、密封装置等组成。四方向等载荷型滚动直线导轨副在机床行业应用较广，其横截面如图1所示。

图1 滚动直线导轨副横截面

图2中，W1、ΔW1分别为导轨滚道中心距及其加工误差，W2、ΔW2分别为滑块滚道中心距及其加工误差。如图3所示，当导轨副受向下的垂直集中载荷Fv时，滑块除了会向下产生一定的变形外，底部也会向两侧张开，导轨和滑块滚道间的接触位置发生变化，滚道的曲率中心位置也会移动。

(a)导轨横截面图 (b)滑块横截面图

(a)导轨副受垂直载荷时的整体位移

图3a中，i为滚道序号，i=1,2,3,4；Fij为导轨副4列滚道中第i列滚珠与导轨滚道间的赫兹接触力，即滚珠与滑块滚道间的赫兹接触力；δy为导轨副承受外部载荷时的位移量；α0为第一、四列滚道的初始接触角。图3b中，Or1、Or4分别为变化前导轨第一、四列滚道的曲率中心，O′r1、O′r4分别为变化后导轨第一、四列滚道的曲率中心，Oc1、Oc4分别为变化前滑块第一、四列滚道的曲率中心，O′c1、O′c4分别为变化后滑块第一、四列滚道的曲率中心；Ob、O′b分别为变化前后的滚珠球心，rr为导轨滚道的曲率半径，rc为滑块滚道的曲率半径，rb为滚珠半径。

工程应用时，导轨与滑块间常需预紧以提高导轨副的刚性，这种预紧一般是通过增大滚珠的直径、使滚珠紧紧地挤入导轨与滑块之间实现的。导轨副内部的这种预紧力称为预加载荷。

滚珠存在过盈量时，导轨滚道与滚珠间、滑块滚道与滚珠间产生的赫兹接触变形为初始法向变形δ0。由于预紧载荷使导轨与滚珠均发生变形，因此导轨侧和滚珠侧的变形量分别为δ0/2。滑块与滚珠间的变形同理。故图3b中的滚珠与导轨及滑块在第一、四列滚道的变形量δ1、δ4包含滚珠过盈导致的初始变形量。

由于导轨副结构是左右对称分布的，故只需对导轨副的单侧进行分析即可。导轨副受外部垂直载荷时，滚珠与滚道相互接触，根据赫兹接触理论可知，滚珠的形状将由圆球变为椭球。此外，滑块受力后，其裙部将产生变形，向两侧张开，因此滚道的曲率中心位置、接触角也会发生变化。

导轨副中导轨、滑块的滚道曲率中心、位移变化量、接触角等参数变化如图4所示。以导轨副第一列滚道为例，ΔW1/2为单侧导轨滚道中心距的加工误差，ΔW2/2为单侧滑块滚道中心距的加工误差，在外部垂直集中载荷、滚道中心距加工误差作用下，导轨滚道曲率中心由Or1变为O′r1，滑块滚道曲率中心由Oc1变为O′c1。Δc1、Δc4分别为外部垂直载荷作用下滑块第一、第四列滚道的弹性变形量，α1为变化后第一列滚道的接触角。图4中的两个图形关于X轴对称，X轴下侧图形中的符号与X轴上侧的图类似，不再赘述。

图4 导轨副滚道曲率中心变化

变化后的导轨、滑块滚道曲率中心距在第一、四列滚道的受力及滚珠变形量不同，需分别分析。第一列滚道曲率中心的距离在变化前的Oc1Or1和变化后的O′c1O′r1可分别记为a1和a′1。分析图4，可得

(1)

同理，可得第四列滚道曲率中心距

(2)

则第一列滚道滚珠的变形量为

δ1=a′1-a1+δ0

(3)

第四列滚道滚珠的变形量为

δ4=a′4-a4+δ0

(4)

第一、四列滚道与滚珠的接触变形系数相同且在垂直方向的位移相同，故由赫兹接触理论可得[22]

(5)

(6)

(7)

(8)

Cb=Cbr+Cbc

(9)

由赫兹接触变形公式可得导轨副中第一列、第四列单个滚珠的法向接触力。对导轨副进行受力分析，当垂直集中载荷Fv不超过临界载荷Fby时，导轨副下侧的滚珠依然与滚道接触，并承受压力。四列滚道中的滚珠在外部垂直集中载荷作用下均受压，以滑块为示力体，根据法向力平衡条件可得

Fv+2neF1jsinα1-2neF4jsinα4=0

(10)

式中，ne为每列滚珠中受力滚珠的个数。

当Fv超过临界载荷Fby时，下排滚珠会脱离滚道，滚珠与滚道之间不受力，上排滚珠仍处于受压状态，即

Fv-2neF1jsinα1=0

(11)

考虑滚道中心距加工误差后，滚动直线导轨副垂直静刚度的微分形式为

(12)

1.2 滚道中心距误差与摩擦力的理论模型

导轨、滑块滚道中心距存在加工误差或滚珠存在过盈量时，导轨副四列滚道中的每一列滚珠都会受导轨滚道和滑块滚道的挤压，使滚珠与滚道产生法向接触力。在该法向接触力的影响下，滚珠与导轨及滑块滚道之间会产生赫兹接触变形。考虑滚道中心距误差时，导轨副的受力如图5所示。图5a中，Fi为导轨副四列滚道第i列中的滚珠所受的法向接触力；α0为导轨副变化前的初始接触角；图5b中，δbr、δbc分别为导轨副滚道中心距存在加工误差时的滚珠与导轨、滑块滚道间的接触变形量；δ0为滚珠过盈量导致的滚珠与导轨及滑块滚道间的接触变形。

(a)导轨副无外载时的内部应力

由于滚动直线导轨副的结构是左右对称分布的，故只需对导轨副的单侧进行分析。由导轨副结构可知，在导轨、滑块滚道中心距偏差分别为ΔW1和ΔW2时，其四列滚道中每一列滚珠的受力、变形、接触角变化都相同。如图6所示，以导轨副第一列滚道为例，ΔW1/2为单侧导轨滚道中心距加工误差，滚道曲率中心由Or1变为O′r1；ΔW2/2为单侧滑块滚道中心距加工误差，滚道曲率中心由Oc1变为O′c1；α2为导轨副变化后第一、四列滚道间接触角。由于上下图是对称的，下图类似，不一一赘述。

图6 滚道中心距误差下曲率中心位置变化

变化前导轨、滑块滚道曲率中心距为记为a，将之分解得到

(13)

变化后导轨、滑块滚道曲率中心距为记为a′，将之分解可以得到

(14)

从导轨副的接触结构可以看出，当导轨、滑块滚道中心距存在加工误差时，滚珠变形量

δb=a′-a≈(ΔW1+ΔW2)cosα2/2

(15)

从图5中可以看出，在导轨和滑块滚道中心距存在加工误差时，由赫兹接触理论可得滚珠与导轨及滑块滚道的法向接触变形：

(16)

则滚珠的总变形量为

(17)

滚珠存在过盈尺寸时，滚珠的法向总变形量为

δ=δb+δ0=(ΔW1+ΔW2)cosα2/2+δ0

(18)

从而得到滚珠与滚道之间的法向接触力。由于导轨副不受外部载荷的作用，所以导轨副的四列滚道与滚珠之间的法向接触力相同，则导轨副的总摩擦力

(19)

式中，μ0为导轨副的摩擦因数；F0为刮油件阻力。

2 导轨副承载性能试验方案

2.1 试验样件

为验证导轨副静刚度及摩擦力理论模型的正确性，采用广东凯特精密机械有限公司的25型3级精度的导轨副进行试验，样件规格参数见表1，样件性能参数见表2。

表1 样件规格参数表

表2 导轨副零件性能参数

2.2 试验流程

试验的导轨副样件由具有不同误差的导轨、滑块以及不同直径的滚珠经组合、装配得到。导轨副的不同预紧等级是通过改变滚珠的直径(规值)，形成不同的过盈量来实现的。完成装配后，对导轨副样件进行静刚度和摩擦力性能检测。

2.3 静刚度试验

为验证滚道中心距误差对不同预紧等级导轨副静刚度的影响，利用滚动直线导轨副静刚度试验台测试导轨副静刚度。如图7所示，该试验台包括控制台、导轨副压块、垂直压滑块夹具、导轨安装块、传感器。导轨副静刚度试验台控制电机以0.2 mm/min的速度向下运动，经由导轨副压块、滑块夹具给导轨副施加垂直向下的力，以额定动载荷的1%作为预加载荷、额定动载荷的20%作为最大加载载荷，通过位移传感器将变形量传输到控制台中进行数据处理。更换导轨副样件，重复试验，记录各导轨副样件静刚度试验值，并与仿真值进行比较。

图7 导轨副静刚度测量装置

2.4 摩擦力试验

如图8所示，利用滚动直线导轨副综合性能试验台对导轨副摩擦力进行测量。该试验台包括控制台、花岗岩床身、驱动装置、测量装置、滑台。测量装置采用力传感器来推动滑块进行匀速运动，并将测得的摩擦力传到控制台待后续处理。通过程序控制滑块以1 m/min的速度移动，检测导轨副的正反向摩擦力，每组测量3次取其平均值作为测试结果。

图8 导轨副摩擦力测量装置

3 理论仿真及试验验证分析

利用滚动直线导轨副静刚度和摩擦力试验装置以及制定的相关试验方法，对不同滚道中心距加工误差的导轨和滑块，以及不同预紧等级的滚动直线导轨副分别进行静刚度和摩擦力的试验，并将试验结果与理论仿真结果进行比对分析。

3.1 静刚度理论仿真与试验结果分析

由图9可知，试验与仿真的静刚度变化趋势相同，静刚度与滚道中心距误差为非线性关系。在滑块滚道中心距误差不变的情况下，随着导轨滚道中心距误差的增大，滚珠、导轨和滑块滚道的赫兹变形面积增大，法向变形量减小，静刚度增大。

分析图9可知，在导轨滚道中心距误差不变的条件下，滑块滚道中心距误差(图中为ΔW2)由0依次变化到-4 μm、-8 μm时，静刚度是逐步减小的。但滑块滚道中心距误差为-12μm时，滑块裙部变形的影响凸显，使导轨副的静刚度变大。在P2预紧等级的导轨副(图9c)中，滑块滚道中心距误差为-12 μm时，静刚度为最大。

(a)P0预紧等级

由试验结果可以看出，实测刚度小于理论刚度。从受力的角度推测理论刚度较大的原因是，实际导轨副内部的接触没有理论模型的均匀、理想。理论分析时，假设导轨滚道、滑块滚道、滚珠都具有理想的尺寸、位置和几何形状，所有的滚珠大小一致且都与滚道接触，承受的载荷相同。但实际导轨副的滚道和滚珠都有尺寸误差和形状误差，不能保证所有滚珠都与滚道接触，或即使接触，各滚珠所受的载荷也不同。因此，实际导轨副中与滚道接触的滚珠数目小于理论假设或各滚珠的载荷不均匀，都使滚道和滚珠的实际变形大于理论假设的变形，最终造成实测刚度小于理论刚度。

从滚道中心距误差对静刚度影响趋势可以看出，在P1预紧等级下，导轨副静刚度受滑块滚道中心距误差的影响较大；在P2预紧等级下，导轨副静刚度受导轨滚道中心距误差影响较大。导轨副3种预紧等级下的静刚度理论值与试验值在图9中有所体现，故以导轨副预紧等级为P1和P2为例，对比分析静刚度与滚道中心距误差的关系，试验数据与理论数据及相对误差如表3所示。预紧等级为P1时，静刚度受滑块滚道中心距误差的影响较大，导轨和滑块滚道中心距误差绝对值从0变为12 μm时，导轨副静刚度的实测值为50.23～88.84 N/mm，理论值为60.06～100.11 N/mm。预紧等级为P2时，静刚度受导轨滚道中心距误差的影响较大，导轨和滑块滚道中心距误差绝对值从0变为12 μm时，导轨副静刚度的实测值为59.46～100.47 N/mm，理论值为104.77～108.98 N/mm。

表3 静刚度试验数据与理论计算数据

由于理论计算模型中的所有滚珠与滚道均为均匀接触，而实际试验中的滚珠与滚道为非均匀接触，故理论计算得到的刚度均高于实际试验测量值。另一方面，由于理论计算模型中计入了滑块裙部变形的影响，因此试验数据与理论仿真得到静刚度数值的误差较小。由表3可以看出，两者相对误差为2.46%～8.20%，且绝大多数相对误差为2%～5%，试验结果和理论计算结果基本一致。

3.2 摩擦力理论仿真与试验结果分析

由图10可以看出，导轨副摩擦力的试验值与仿真值的变化趋势相同；由于滚道中心距误差绝对值为0～12 μm，范围较小，因而导轨副摩擦力随滚道中心距误差的变化近似于线性。由于摩擦力的理论值与试验值在图10中有所体现，故以滑块滚道中心距加工的最小误差0和最大误差-12 μm两种极端情况为例，对比分析摩擦力与滚道中心距误差的关系，实测值、理论值及相对误差如表4所示。以P2预紧等级的导轨副为例，当滑块滚道中心距误差为0、导轨滚道中心距误差从0变为12 μm时，摩擦力的实测值为7.74～14.10 N，理论值为8.00～13.23 N；滑块滚道中心距误差为-12 μm、导轨滚道中心距误差从0变为12 μm时，摩擦力的实测值为12.17～18.84 N，理论值为13.23～19.52 N，可以看出，导轨滚道中心距误差变化时，摩擦力实测值的变化范围和理论值的相差较小，可认为基本一致。

(a)P0预紧等级

由表4可以看到，摩擦力的实测值与理论值的相对误差大部分都小于10%，只有一个为11.33%，说明试验结果和理论仿真结果基本一致。

表4 摩擦力试验数据与理论计算数据

在3种预紧等级下，当滑块滚道中心距误差分别为0和-12 μm时，摩擦力随导轨滚道中心距误差变化的实测值为2.57～6.67 N；理论值为2.34～6.29 N。摩擦力的实测值与理论值变化最大的情况一致，均是导轨副预紧等级为P2、滑块滚动中心距误差为-12 μm、导轨滚道中心距误差从0变为12 μm时的情况，该条件下的实测值为6.67 N，理论值为6.29 N。

4 结论

(1)导轨副静刚度的理论值与试验值分布趋势相同，静刚度与滚道中心距误差为非线性关系；由于理论模型中的接触状态比实际情况中的理想，因此刚度的计算值大于试验值；理论模型考虑了实际试验时的滑块裙部变形，因此刚度的理论值与试验值的相对误差较小，为2.46%～8.20%，说明理论计算与试验实测一致性较好。

(2)导轨副的预紧等级为P1时，静刚度受滑块滚道中心距加工误差的影响较大，静刚度的实测值为50.23～88.84 N/mm，理论值为60.06～100.11 N/mm；预紧等级为P2时，静刚度的实测值为59.46～100.47 N/mm，理论值为104.77～108.98 N/mm。

(3)导轨副摩擦力的理论值与试验值整体趋势相同，摩擦力与滚道中心距误差近似为线性关系；滑块滚道中心距误差从0变为-12 μm时，绝大部分的相对误差均于10%，仿真与试验的结果基本一致。

(4)从实测值和理论值来看，在预紧等级一定、滑块滚道中心距误差一定时，摩擦力随导轨滚道中心距误差变化而变化的趋势是一致的。当导轨滚道中心距误差由0变化到-12 μm时，实测的摩擦力由2.57 N变化到6.67 N，理论的摩擦力由2.34 N变化到6.29 N，趋势一致。