一类偏微分方程初值问题的近似解析解法

王兵贤, 徐 梅, 张弘毅

(淮阴师范学院 数学与统计学院, 江苏 淮安 2233000)

0 引言

现代科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述,较多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程.因此,科学和工程计算的一个主要任务也是求解微分方程的(特别是偏微分方程)定解问题.然而,由于较多背景意义下的偏微分方程,譬如流体力学问题往往不定常的、非线性的,加上黏性、湍流和激波等复杂的现象.因此,较多偏微分方程的解较难用解析形式来表示,从而也涌现出了较多有效的近似数值解法[1-6],包括有限差分方法、基本解方法、边界元、有限元方法以及同伦方法等等,但对于一些偏微分方程,特别是非线性发展方程,其收敛性和稳定性结果分析是近似数值解法研究中一个比较困难的.

基于此,本文研究如下偏微分方程初值问题:

utt=F(ut,u,ux,uxx,…)

(1)

u(x,0)=φ0(x),ut(x,0)=φ1(x)

(2)

如果F(ut,u,ux,uxx,…)=uxx,则方程(1)为典型的双曲型方程,如果F(ut,u,ux,uxx,…)=-ut+uxx+G(u),则方程(1)为典型的电报方程[7-8].而且,G(u)不同,所描述的物理背景也不同.本文考虑一种近似解析解法,该解法对于G(u)是非线性项时也是有效的.

1 近似解析方法

下面介绍近似解析方法的具体过程.首先,将方程(1)的两侧在0到t上积分,得到

即

因此有

(3)

这里H[u]=F(ut,u,ux,uxx,…).

接着将方程(3)两侧再在0到t上积分,得

即

(4)

如果H[u]在t=0处的展开式为

(5)

则将式(5)代入式(4)中得

(6)

即

h0=φ0(x),h1=φ1(x),h2=H[u0],

h3=H′[u0],…,hn=H(n-2)[u0].

注1 式(6)实质上是u在t=0处的泰勒展开式,即

2 近似解析方法的应用

以3个问题为例,说明本文近似解析方法的有效性.

2.1 波动方程初值问题

考虑问题

(7)

式(7)是……