分数阶拟周期Mathieu 方程的动力学分析1)

郭建斌 申永军 ,†,2) 李 航

* (石家庄铁道大学机械工程学院,石家庄 050043)

† (石家庄铁道大学交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室,石家庄 050043)

引言

分数阶微积分第一次被数学家Hospital 与Leibnitz 提出,至今已有300 多年历史.起初,分数阶微积分因其缺乏应用背景在早期工程研究中并未得到广泛关注.1832 年,Liouville 首次将分数阶微积分用于解决一些实际问题.此后,众多学者在分数阶微积分的定义、性质和计算方法等方面展开了详细的探讨[1-6].在这个过程中,分数阶微积分也由数学理论研究逐步走向工程应用[7-11].

在控制工程领域,分数阶微积分主要用来影响系统的闭环控制特性,从而提高系统控制效果和鲁棒性.如薛定宇和赵春娜[12]提出了一种分数阶PID控制器的设计方法,具体演示了分数阶控制器对系统优良的控制效果.常宇健等[13]则针对含分数阶阻尼的悬架模型进行了主动控制研究.在动力学方面,分数阶微积分主要集中用于描述黏弹特性材料的本构关系,以此来提高此类非线性系统振动特性研究的准确性.如Cao 等[14]采用数值积分法,结合相图、庞加莱截面图、分岔图等分析了分数阶阻尼对系统动力学性能的影响.申永军等[15]通过对含分数阶线性单自由度振子的动力学分析,首次提出等效线性阻尼和等效线性刚度概念.申永军等[16-17]利用平均法得到分数阶van der Pol 振子的一次近似解,比较了分数阶与整数阶系统并分析了分数阶微分项对系统动力特性……