非线性演化方程的切对称群分析

高晓润,黄晴

(西北大学数学学院,陕西 西安 710127)

1 引言

众所周知,李群理论是分析偏微分方程的一种通用和便捷的工具.它最主要的应用之一就是求解偏微分方程的不变解.因此,应用李群理论对偏微分方程进行群分类及进一步的精确求解问题引起了人们的广泛关注.只依赖自变量和因变量的变换,称之为点变换.更一般的,还依赖于因变量导数的变换,称为广义变换.特殊的,若变换依赖于自变量、因变量和因变量的一阶导数,则称之为切变换.目前,人们已经对点变换有了广泛且深刻的研究[1-2],而关于切变换的研究却比较少.

十九世纪数学家Sophus Lie(1842-1899)提出和发展了李群方法.此后,李群算法被认为是分析偏微分方程最强大的工具之一,主要原因是该方法可以减少变量数目,有可能导出与偏微分方程相关的群不变解,而且它也推动了其它数学物理方法的发展[3].

虽然关于广义对称的研究不多,但是近年来广义对称,尤其是切对称,受到了越来越多的关注.目前在切对称领域一些学者也做了许多工作.例如文献[4]使用二阶偏微分方程的切变换来求得这些方程的伪不变解.文献[5]将切变换应用于三阶常微分方程从而得到隐变换.在文献[6]中一些切变换也被认为是偏微分方程的隐对称的新起源.本文将优化系统的概念应用于切对称,提出一种代数分类算法.并以下面的二阶非线性演化方程为例:

给出它所容许的切对称并建立切对……