成对型复微分差分多项式的零点与唯一性

刘 凯，高迎春

(1.南昌大学数学系，江西 南昌 330031)

1 引言及主要结果

本文假设读者熟悉亚纯函数值分布理论[1-2]的基本概念和符号。例如：特征函数T(r,f),计数函数N(r,f)和均值函数m(r,f)。函数增长级ρ(f)和超级ρ2(f)定义如下：

若亚纯函数a(z)满足T(r,a(z))=o(T(r,f))=S(r,f),r→∞至多除去一个具有有限对数测度的例外集，则称函数a(z)为f(z)的小函数。

亚纯函数的零点研究是值分布理论的一个重要课题，代数学基本定理说明任何非零多项式都存在零点，经典的Picard定理说明超越整函数f(z)至多有一个有限的Picard例外值，即f(z)-a有无穷多个零点至多有一个例外的a值；而超越亚纯函数至多有两个有限的Picard例外值。Hayman[3]研究了复微分多项式f(z)nf′(z)-a的零点个数问题，此类问题是研究复微分多项式零点的重要起点，后续很多亚纯函数零点问题、唯一性问题和正规族理论的研究都受此问题的启发。

定理A[3，定理10]设f(z)是超越整函数且n≥2为正整数，a是非零常数，则f(z)nf′(z)-a有无穷多个零点。

Clunie[4]证明了当n=1时定理A也是正确的。那么，如果f(z)是超越亚纯函数，情况会如何呢？Hayman在文献[3]中提出如下猜想:

Hayman猜想：设f(z)是超越亚纯函数且n是正整数，a是非零常数，则f(z)nf′(z)-a有无穷多个零点。

事实上，Hayman[3]得到了下面结果：

定理B[3]设f(z)是超越亚纯函数且n≥3是正整数，a是非零常数，则f(z)nf′(z)-a有无穷多个零点。

在众多数学家的努力下，Hayman猜想现已被完全证明，其中Mues[5]证明了定理B中n=2的情况，Bergweiler和Eremenko[6]，Chen和Fang[7]以及Zalcman[8]分别证明了n=1的情况。Hayman猜想说明对于特殊类型的亚纯函数f(z)nf′(z)的Picard例外值仅可能为0。目前，与Hayman猜想有关的问题研究依然十分活跃。2007年，Laine和Yang[9，定理2]首次研究了Hayman猜想的差分版本，即复差分多项式的零点分布，并得到了下列结果：