零模关于一致模的条件分配性方程

侯晓东 张继鹏

（泰山科技学院 数理教学部，山东 泰安 271000）

聚合算子广泛应用于多个领域，如：人工智能、信息融合及决策理论。条件分配性[1-8]作为两个聚合算子之间的一个重要性质，极具研究价值。作为信息论最优化中比较直接的应用，伪分析通常要求算子之间要满足一定的条件分配性方程[9，10]。

一致模和零模作为三角模、三角余模的两种推广，研究领域如：不同类一致模的结构、特征刻画、有关的吸收方程以及函数方程等。文献[9，10]研究了零模关于一致模的条件分配性方程：

F（x，U（y，z））=U（F（x，y），F（x，z）），x、y、z∈[0，1]，0

关于零模F 关于一致模U的条件分配性方程：

F（x，U（y，z））=U（F（x，y），F（x，z）），x、y、z∈[0，1]，0

文献[11]已给出取小、取大一致模时的完整解。在此基础上，本文讨论带有连续、阿基米德基础算子的一致模类的条件分配性方程。

1 预备知识

本节给出文中涉及到的概念及结论。

定义1：若二元函数U:[0，1]2→[0，1]，对于任意x、y、z∈[0，1]满足下列条件：

（1）U（x，y）=U（y，x）， （交换性）

（2）U（x，U（y，z））=U（U（x，y），z）， （结合性）

（3）U（x，y）≤U（x，z），y≤z （单调性）

（4）U（e，x）=x， （单位元e∈[0，1]）

称U为一致模，e 为一致模U的单位元。当e=1 时，一致U退化为三角模T；当e=0 时，一致模U退化为三角余模S。若U为带有单位元e∈]0，1[的一致模，根据定义可构造二元函数TU、SU:[0，1]2→[0，1]:[12]：

分别记公式（1）中的一致模为Umin，公式（2）中的一致模为Umax。

定理3：设U是带有单位元e∈]0，1[的一致模。TU与SU均为严格的，则下列之一成立：

（i）U∈Umin；（ii）U∈Umax；（iii）U是可表示一致模；

定理4：设U是带有单位元e∈]0，1[的一致模。TU为严格的，SU为幂零的，则下列之一成立：

（i）U∈Umin；（ii）U∈Umax；

定理5：设U是带有单位元e∈]0，1[的一致模。TU为幂零的，SU为严格的，则下列之一成立：

（i）U∈Umin；（ii）U∈Umax；

定理6：设U是带有单位元e∈]0，1[的一致模。TU与SU均为幂零的，则下列之一成立：

（ii）U∈Umin；（ii）U∈Umax。

下面介绍零模的概念及相关结论。……