图的算数-几何谱半径及能量的界

王 猗，高玉斌

(中北大学 理学院， 太原 030051)

1 研究现状

考虑的图均为简单无向图。设图G=(V(G)，E(G))为n阶、m条边的无向图，其顶点集为V(G)={v1，v2，…，vn}，边集为E(G)，|E(G)|=m。图G的最大度和最小度记为Δ和δ。

近年来，人们对于图能量的研究一直非常活跃[1]，其在化学研究中发挥着越来越重要的作用。由Gutman[2-3]引入的图的能量定义为图的邻接矩阵特征值的绝对值之和，它可以用来近似分子的总电子能量，在文献[4-6]中得到了一些图基于度能量的界。Shegehalli等[7]提出了图的算数-几何指数，定义了图G的算数-几何邻接矩阵。

Zheng等[5]得出了算数-几何能量的一些上下界。受此启发，利用图的最大度、最小度以及图的一些拓扑指数得到图的算数-几何谱半径和算数-几何能量的一些新的上下界。

用到的拓扑指数包括：

第一Zagreb指数M1(G)[9]定义为

对称分割度指数SDD(G)[11]定义为

2 引理

引理1[12](Rayleigh-Ritz) 设B为n×n阶矩阵，其特征值为ρ1≥ρ2≥…≥ρn，对于任意的0≠x∈Rn，有

xTBx≤ρ1xTx

当且仅当x是B的对应于其最大特征值的特征向量时，等式成立。

引理2[13](Cauchy-Schwarz) 设ai，bi∈R，i=1，2，…，n，则对于任意的1≤i≤n，

当且仅当对于任意的1≤i，j≤n，aibj=ajbi时等式成立。

引理3设a，b∈R，a≥b≥0，则

当且仅当b=0时等式成立。

3 算数-几何谱半径的界

定理1设G为n阶连通图，边数为m，最小度为δ，则

(1)

证明设x=(x1，x2，…，xn)T为Rn中任意单位向量，由引理1、3，得到

(2)

故

证毕。

定理2设G为m条边的n阶连通图，最小度为δ，则

(3)

证明由引理2可得

定理3设G为m条边的n阶连通图，最小度为δ，则

(4)

证明易知

SDD(G)+2m

由引理2知，不等式(4)成立。证毕。

4 算数-几何能量的界

(5)

故由定理1～3可知，下面关于算术-几何能量的下界定理是显然的。

定理4设G是n阶连通图，有m条边，最小度为δ，则

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

定理5设G为m条边的n阶连通图，则