一类r-(d0,d1,…,dt-1)-泛圈图的结果

张耀静

（1.闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000；2.数字福建气象大数据研究所,福建 漳州363000）

若n阶简单图G中长为t(3≤t≤n)的圈恰好有1 个，则称图G为唯一泛圈图.1973年，Entringer[1]提出确定唯一泛圈图的问题.1986年shi[2]证明了在n个顶点的哈密顿图中G，若所有唯一泛圈图的边数为v+m(m≤3)，那么它们只有7 个，而且当边数为v+4 时，唯一泛圈图不存在，在这个基础上他提出猜想当图的边数为v+m(m≥4)时，唯一泛圈图不存在[2].2009年，Markström[3]证明了唯一泛圈图的边数的新上下界，而且还通过计算机查找证实施的猜想对点数较小的图是正确的：当阶小于或等于59 时边数v+m(m≥4)的唯一泛圈图不存在.2015年，Phillips 等[4]运用计算机发现了所有32 阶唯一偶泛圈.2016年，Wallis[5]证明了所有阶数小于30的唯一偶泛圈图.与唯一偶泛圈图的相关结果可以在文献[3,6-8]中查看.与Entringer问题相关的结果可以在文献[9-12]中查看.

若n阶简单图G中长为t(r≤t≤n)的圈恰好有k个，则称图G为r-(k)-泛圈图.2013年，Zamfirescu[13]研究了一类(2)-泛圈图并扩展到r-(2)-泛圈图，给出了r-(2)-泛圈图的定义以及构造的方法.2018年Liu[14]根据Zamfirescu[13]构造了一类r-(k)-泛圈图，并证明了r与n的关系.

1975年，Erdös[1]提出确定f(n)的问题，其中f(n)是表示没有等长圈n阶图的最大可能边数.显然可以看出Erdös问题和Entringer问题都没有等长圈.相关结果可以在文献[15-22]中查看.

若对每一个r+tj+i(r+tj+i≤n)，n阶简单图G中长为r+tj+i的圈恰好有di个，0≤i≤t−1，其中t是di的周期数，j是t重复的次数，则称图G为r−(d0,…,dt−1)-泛圈图.若对每一个奇（偶）数r+tj+i(r+tj+i≤n)，n阶简单图G中长为r+tj+i的圈恰好有di个，0≤i≤t−1，其中t是di的周期数，j是t重复的次数，则称图G为r−(d0,…,dt−1)-奇（偶）泛圈图.2015年陈锦丽[23]构造了一类r−(P0,P1,…,Pt−1)-泛圈……