一道函数含参恒成立问题的解法

摘 要：分离参数法是解决函数恒成立问题常用的方法，通过等价的分离参数，把求参数范围问题转化为恒成立问题中的最值问题，避免了对参数的讨论，可达到化繁为简的目的.

关键词：含参不等式;分离参数;恒成立;导函数

问题：若对于总有成立，求的取值范围.

解法一

分析：（1）要使在上恒成立，只需函数在上的最小值大于等于零即可;（2）对于函数的最值问题，常见的方法有：配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、数形结合、单调性法等;（3）要注意对参数进行分类讨论.

解：函数的定义域为

1.当时，，此时在区间上单调递减，，不成立，舍去。

2.当时，.

（1）若，则在上，单调递减，此时，不成立。

（2）若，令得或.因为当时，时，所以在上单调递减，在上单调递增。

①当时，，此时函数在上的最小值为，不成立;②时，，此时函数在上的最小值为。要使在上恒成立，则，解得。

综上所述，的取值范围为。

从解法一的整个解题过程中可以看出，学生主要会遇到以下一些困难：

（1）准确、不重不漏的对参数进行分类.这里除了要对参数是否为零进行讨论，还要对参数值的正负进行分别探究.最容易被忽略同时也是最难的是当参数大于零时还要结合定义域讨论方程两根的情况，整个过程需要有较强的逻辑思维能力。（2）需要对二次函数有深刻的认识和把握才能顺利完成以上过程.对于很大一部分学生来说函数问题本来就是无法逾越的一道鸿沟，更不用说是含参二次函数了。（3）带参数的计算问题对于……