用向量法解立体几何题，建系求点是关键

梁业兴

摘 要：利用空间向量法解立体几何题，可把抽象的空间图形关系转化为具体的数量运算，并有很强的规律性和可操作性，但在实际教学中发现，学生对某些几何体存在建系求点上的困难.本文主要通过实例探讨解决问题的办法。

关键词：立体几何;向量法;建系求点

向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，是具有几何形式和代数形式的“双重身份”的概念，是沟通代数与几何的桥梁。将空间向量引入高中数学，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。解题时，只需建立合适的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，然后化为向量问题，通过进行向量运算，即可转化为几何问题。在这里，建系求点将是解决问题的关键。

一、问题的提出

学生用向量法解如下高考真题（例1）时容易求错或无法求出点P的坐标。

例1.如图1，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点。

（1）证明：AD⊥平面DEF;

（2）求二面角P-AD-B的余弦值。

二、问题分析

学生用向量法解立体几何题主要的错误有两个：一是建系不合理，二是求错甚至不会求点的坐标。

主要原因有两个方面：一方面是图形认知障碍.平面几何图形反映图形的真实情况，但在立体几何中，由于是用斜二侧画法画成的直观图，图形往往不能反映原形的真实结构和全部特点。例如在“水平放置的平面图形的直观图画法”中，正方形、矩形在水平放置后呈平行四边形，以及在图中看上去明显不垂直的两条线段却偏要证明他们互相垂直，明显是锐角的实际上却是一个钝角等;另一方面是缺乏空间想象能力。……