带有不定线性部分的薛定谔方程的多解存在性

洪明理,李林锐,黄代文

(1.防灾科技学院,三河 065201) (2.北京应用物理与计算数学研究所,北京 100088)

许多的文章研究如下薛定谔方程解的存在性和多解性:

-Δu=V(|x|)u+f(|x|,u),x∈RN,u∈H1(RN).

(1)

上述问题是由物理和数学物理中的问题抽象出来的,参见文[1]及其它的参考文献.

许多的文章考虑(1)的径向解的存在性,参见文[2-3].在文[2-3]中他们获得了下面自治的(1)的无穷多个球对称解的存在性:-Δu=f(u).近年来,有许多的文章考虑关于不定的非线性和不定的线性的椭圆问题.文[4-5]考虑了椭圆问题-Δu=λu+h(x)f(u)在Ω中的非平凡解的存在性,其中Ω是RN中的有界区域,h是变号的.一般情况下,h(x)f(u)称为不定的非线性部分.在文[6]中,作者研究了椭圆方程 -Δu=λV(x)u+f(x,u)在Ω中非平凡解的存在性,其中Ω是RN中的无界区域,V是变号的,V称为不定的线性部分.在这篇文章中,为了得到上述方程的非平凡解的存在性,作者给出了λ和Ω的一些假设.文[7]得到了上述方程在Ω=RN中多解的存在性,其中f(x,u)=|u|p-2u,V和λ满足一些假设.特别地,在文[8]中,Costa和Tehrani得到了在一定的条件下一类RN中的不定椭圆问题:-Δu=λh(x)u+a(x)g(u)的一个或两个正解的存在性.

我们的基本假设如下:

(A4)f(|x|,u)=o(|u|),|u|→0一致地在RN中.

(A5)f关于u是奇的,f(r,-u)=-f(r,u),对任意的r≥0,u∈R.

我们的结果如下:

定理1在(A1)～(A6)的假设下,问题(1)有一个无界的解序列±uk,k∈N,±uk是径向对称的.

本文安排如下:在第一部分,我们将给出一些预备知识.在第二部分,我们将证明(PS)c条件.在第三部分,我们将用Fountain定理和对称的临界点原理证明定理1.

记号|·|p是Lp(RN)的通常范数.D(RN)∶={u∈C∞(RN)|suppu是RN的紧子集}.

H是H1(RN)空间带有范数‖·‖1,‖·‖1将在引理1中给出.X=HO(N)∶={u:u∈H,gu=u,∀g∈O(N)}.

1 预备知识

下面我们将……