分枝马氏过程与超过程的中心极限定理

任艳霞，宋仁明

(1.北京大学 数学科学学院，北京 100871；2.伊利诺伊大学 数学系，厄巴纳 G1801；3. 四川大学 数学系，四川 成都 610065)

1 预备知识

1.1 模型介绍

1.1.1 分枝过程

若系统中共有k类粒子，粒子类型记为{1,2,…,k}.系统中粒子死亡后可以产生不同种类的粒子，同类粒子产生的后代分布相同.令随机变量Zn(j)为第n代存活的j类粒子的总数，定义Zn= (Zn(1),Zn(2),…，Zn(j),…，Zn(k)),称{Zn,n≥1}为多物种分枝过程.令mij表示第i类粒子产生的后代中j类粒子的个数的期望，称矩阵M= (mij)1≤i,j≤k为多物种分枝过程的期望矩阵.Kolmogorov等在1947年提出了连续时间参数的分枝过程.假设每个粒子的寿命服从指数分布.对于t≥0,定义随机变量Zt：= (Zt⑴,Zt(2),…，Zt(j),…,Zt(k)),其中Zt(j)为t时刻存活的j类粒子的总数，称{Zt,t≥0} 为连续时间参数的分枝过程.期望矩阵为Mt∶=(mt(ij))1≤i,j≤k,其中mt(ij)是i类粒子经过时间t生成的j类粒子总数的期望.

1.1.2 分枝马氏过程

Ⅰ)底过程：E上的Hunt过程ξ={ξt,∏x};

令{pn(x)∶n=0,1,2,…}的母函数为

由上述3个要素，可以构造E上的分枝马氏过程.考虑如下分枝系统：

Ⅰ)系统中每个粒子u在E上运动，且出生时间和死亡时间是随机的，分别记为bu和du;

Ⅱ) 若粒子在位置x∈E出生，则它按照从x出发的ξ运动.令{zu(r)∶r∈[bu,du]}为u的运动轨道；

Ⅲ) 若粒子u在t时刻是活着的，则其在无穷小区间[t,t+dt]内存活的概率为β(zu(t))dt+0(dt);

Ⅳ) 当粒子u在位置x∈E死亡，它在x处以概率pn(x)产成n个后代，且每个后代独立的从x处开始按照上述规则运动、死亡、产生后代；

Ⅴ) 当粒子到达∂,它将从系统中消失.

(1)

则ω(t,x)是方程

(2)

1.1.3 超过程

超过程是另一类测度值马氏过程.超过程同样由以下3要素构成.

Ⅰ) 底过程：E上的Hunt过程ξ={ξt,∏x};

Ⅲ) 分枝机制

(3)

(4)

(5)

其中,uf(x,t)是下列方程的唯一的非负的……