一类带有间断波动率的永久美式看跌期权的定价公式

王 术， 袁 芳,2

(1.北京工业大学理学部， 北京 100124； 2.中国光大银行， 北京 100054)

本文致力于研究下列永久美式看跌期权的定价模型：求{V(S),ω}使得

(1)

V(ω)=K-ω

(2)

V′(ω)=-1

(3)

V(+∞)=0

(4)

式中：V=V(S)为期权；S为原生资产价格；σ为波动率；r为无风险利率.

定解问题(1)～(4)，在数学上称为自由边界问题(free boundary problem)，其中S=ω称为自由边界.在金融学中，S=ω称为最佳实施边界.

这类期权定价模型，不仅具有重要理论意义，而且还具有明确的金融意义，因而受到人们的普遍关注.迄今，有关这类模型的研究已经取得了一系列丰富的研究成果，参见文献[1-20].

众所周知，当波动率σ是一个正常数时，这类期权定价模型的研究已经相当完善，详见文献[3].但是，当波动率σ是一个间断函数时，包括期权定价公式在内的一些问题还有待于进一步研究，详见文献[3]之第10章.

本文选取σ=σ(S)，是原生资产价格S的一个函数，具有表达式

(5)

式中：σ-与σ+为给定的正常数，且σ-≠σ+；v为一个给定的正常数.

主要结果就是下列定理1～3.

定理1假设式(5)成立.定义

(6)

如果

(7)

那么自由边界问题(1)～(4)的解(V(S),ω)具有表达式

(8)

(9)

定理2定义一个函数

f(x)=xm-px+q,x∈(0,+∞)

(10)

式中：

(11)

(12)

m=a-+1

(13)

这里a-与a+由式(6)定义.假定

a+

(14)

如果

(15)

那么自由边界问题(1)～(4)有一个解(V(S),ω)，具有如下性质.

1) 自由边界S=ω就是代数方程式

f(ω)=0

(16)

在区间(0,v)内唯一解.

2) 期权函数具有表达式

(17)

式中：

(18)

(19)

进一步地，期权函数V(S)在间断点S=v处还满足间断条件

V-(v-0)=V+(v+0)

(20)

V′-(v-0)=V′+(v+0)

(21)

定理3假设

a+>a-

(22)

如果

(23)

那么自由边界问题(1)～(4)有一个解(V(S),ω)，并且(V(S),ω)具有如下性质.

1) 自由边界S=ω就是代数方程式

f(ω)=0

(24)

在区间(0,v)内的唯一解.

2) 期权函数具有下列表达式

(25)

式中：

(26)

(27)

进一步地，期权函数在间断点S=v处还满足间断条……