求解广义Nash均衡问题的同伦方法

范晓娜， 陈 燕， 蒋 俐

(南京邮电大学 理学院， 江苏 南京 210023)

广义Nash均衡问题(GNEP)由经典Nash均衡问题发展而来. 不同之处在于广义Nash均衡问题中的每一位博弈者的决策都不仅依赖于自身的决策变量，还取决于其他博弈者所做的决策. 因此广义Nash均衡问题更具有现实意义，更适用于模拟竞争市场的真实状况. 随着对广义Nash均衡问题的深入研究，广义Nash均衡在金融经济、政治、军事、电子通信、生物科技、工程技术、环境和交通运输等众多社会领域都有其广泛的应用价值. 不可否认的是，当前对广义Nash均衡问题的研究还远不如对经典Nash均衡问题的研究那样丰富和完善. 2009年，Xu、Yu[1]等人在有界域内用同伦方法对GNEP进行研究和求解，该方法克服了已有方法(文献[2—5])的收敛困难、收敛条件强等缺点，得到了较好的收敛结果. 2019年，Fan[6]等在文献[1]的基础上给出一种新的同伦方法求解GNEP，该方法扩大了初始点的选取范围，为问题的解决带来了方便. 本文考虑改进文献[6]的结果，通过引入两个辅助映射，从而扩大收敛的范围并加快收敛的速度.

1 预备知识

考虑一个共有N人的非合作博弈，每个博弈者的决策集不仅依赖于自身的决策变量，还取决于其他博弈者所做的决策.给定一个集值映射Xi:

x=(x1,…,xi,…,xN)T=(xi,x-i)T,xi∈Rni.

对任意x-i∈Rn-i，gi:Rn→Rmi,hi:Rni→Rli,第i个博弈者的决策集记为Xi(x-i)≡{xi∈Rni:gi(x)≤0,hi(xi)=0}.记指标集为

其中

Xi(x-i)的内部记为Xi(x-i)0≡{xi∈Rni:gi(x)<0,hi(xi)=0}，边界集记为∂(Xi(x-i))≡{xi∈Rni:gi(x)=0,hi(xi)=0，j∈Ii(x)}.

对于GNEP，每个博弈者做出的决策都依赖于其他玩家的决策.当其他竞争对手的决策确定以后，第i个博弈者的目标就是要选择一个决策xi解……