一类对称群的胞腔

罗 新， 王利萍

(北京建筑大学 理学院，北京102616)

1 引 言

1979年，Kazhdan和Lusztig提出了著名的Kazhdan-Lusztig理论.胞腔是该理论中的一个主要研究对象.为了研究Coxeter群的相关代数结构，Kazhdan和Lusztig根据左(右)等价关系，把群元素划分成不同的等价类，即双边胞腔、左(右)胞腔[1].当W是一个Weyl群时，Barbasch, Lusztig, Joseph, Vogan等人对其胞腔进行了研究.Weyl群中胞腔在李型群的表示理论以及半单李代数的普遍包络代数的本原理想理论中都有重要的应用[2].

对于对称群Sn，它有着很好的组合方面的结论和性质，更希望有方便好用的工具可以描述和计算对称群的双边胞腔(或左胞腔、右胞腔)，从而应用到表示理论中.文章主要分为三部分，首先介绍了对称群以及胞腔等基本概念，并且指出了Sn内不等价的不可约表示、其每一个左胞腔所对应的W-图与n的整数无序划分之间存在关系；其次，通过计算机编程，实现了用Matlab构建标准Young表，对于对称群中的任意一个置换，可以很快得出其所对应的标准Young表；最后，运用程序给出了一类对称群所对应的双边、右(左)胞腔的个数.

2 预备知识

2.1 双边胞腔及左(右)胞腔

定义1[1]对于每一个元素w∈W，令

L(w)∶={s∈S|sw

L(wi-1)⊄L(wi) (L(wi-1)⊄L(wi) 或R(wi-1)⊄R(wi)).

类似的，对应于关系w≤Lu,可以定义w≤Ru. 这些关系≤L,≤R,≤LR是W上的预次序.

定义2[1]对于W中的元素w和u，如果满足关系w≤Lu≤Lw(w≤LRu≤LRw)，则称它们满足关系w～Lu(w～LRu). 类似的，也可以定义w～Ru. 关系～L,～R,～LR为W中的等价关系，它们对应的等价类分别称为W的左胞腔，右胞腔，双边胞腔.

2.2 a函数

定义3[1]给定一个Coxeter群W, A=为整系数的Laurent多项式环，q为一个变量，定义在A上的代数H称为一个Hecke代数，H有一组典范基……