Davey-Stewartson系列的无色散化探讨

廖显金， 易 戈

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

2 预备知识

本节主要介绍一些数学符号，DS系列的概念和性质.为了定义DS系列，首先介绍两列拟微分算子：

类似KP系列的定义，记

这里及下文，下标“+”表示取拟微分算子的纯微分部分，而“-”表示取拟微分算子的负部.p和q是复变量tmn的未知函数.

定理1下列线性系统：

(1a)

ψz=qφ，

(1b)

(1c)

(1d)

的相容性条件等价于如下关于复函数p和q的方程组：

(2a)

(2b)

其中A*表示A的共轭算子.相容性系统(1)即为DS系列，而无穷多的(2+1)维的非线性偏微分方程(2)就是DS系列的流方程.特别地，t22流就是经典的DS系统.

(3a)

(3b)

引理2微分算子Am和Bn满足：

3 DS系列的半经典极限

按照标准的无色散方法，考虑对DS系列中的变量作如下标量尺度变换：

∂→ -iε∂，→ -iε， ∂tmn→ -iε∂tmn，

(4)

其中i是虚数单位，ε是大于0的实参数.在这种尺度变换下，线性系统(1)自然成为如下含有参数ε的系统：

(5a)

-iεψz=qφ，

(5b)

(5c)

(5d)

参照文献[9]的方法，将未知函数q，p和特征函数φ，ψ表示成标准的WKB form：

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

S=f-g.

(7)

将(6a)、(6b)、(6c)和(6d)代入到(5a)和(5b)，令ε→0，可得

(8)

对于(8)式，联立其中的两个方程，消去φ0和ψ0，得

(9)

为了叙述简便，在考虑(5c)和(5d)的无色散极限之前，先引入如下符号：

式子(5d)不好直接处理，为了利用算子的性质，考虑对等式(1d)两边关于变量z求导，则可得

又由引理1中的(3a)，有

(10)

将(8)式代入上式，消去ψ0fz后，有

(11)

类似对(5d)的处理过程，由(5c)经过无色散极限后，可得

(12)

于是，综上所述，线性系统(1)经过无色散极限后，得到三个哈密顿-雅可比型的非线性方程，即(8)、(11)和(12).因为DS系列的流方程(2)源于线性系统(1)的相容性条件，所以(8)、(11)和(12)应当解释为无色散DS系列的哈密顿-雅可比型的非线性……