解线性方程组迭代法的若干几何研究

卢兴江， 金通洸

(浙江大学 数学科学学院，杭州310027)

1 引 言

迭代法是解线性方程组常用的方法，如著名的Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法[1]等.但对这些迭代过程的认识、收敛性分析等一般是从分析和代数上去研究，例如一个迭代法的收敛与否决定于相应迭代矩阵的谱半径是否小于1，而求谱半径并非易事，而且仅从谱半径去认识迭代法的收敛性是不够的，一个简单的事实是：对某些线性方程组，若变换各个方程的次序，会改变一些迭代法的收敛性，而解的存在与否是和这些方程的次序无关的.要对这样的问题作出解释，揭示出迭代法的几何本质是重要的.下面将从几何上提出两种迭代过程，从而得到解线性方程组迭代法的几何实质.

2 记 号

记n阶线性方程组为

Ax=b,

(1)

其中A=(aij)n×n∈n×n为n阶系数矩阵，b=为n维常数向量，x=(x1,x2,…,xn)T为n维未知向量.

记Ai=(ai1,ai2,…,ain),fi(x)=bi-Aix,i=1,2,…,n，则(1)即为

fi(x)=0,i=1,2,…,n.

这n个方程分别代表n个超平面，记为πi,i=1,2,…,n.即

πi∶fi(x)=bi-Aix=0，

其中(Ai)T为πi的法向量，i=1,2,…,n.

3 迭代法的两个基本几何过程

对线性方程组(1)，首先我们从几何上来看两个基本迭代过程.

(Ⅰ) 反射过程(反射迭代)

对方程组(1) 的n个超平面πi,i=1,2,…,n, 选定一组方向(向量)Ei∈n,i=1,2,…,n, 且E1,E2,…,En线性无关.则反射迭代为这样一个过程(如图1，其中x*为方程组的解)

图1 反射迭代

① 选取初值(初始点)x0∈n；

③ 这样得到迭代向量序列{xn}∶x1,x2,…,xn,…

以上过程称为反射过程，或反射迭代.

定理1对方程组(1)及一组线性无关的方向E1,E2,…,En，若A非奇异，且Ai·Ei≠0 (i=1,2,…,n)，则

(i)反射迭代可以一直进行下去；

(2)

其中(Rij)n×n称之为关联矩阵，Rij称为关联系数.

在反射迭代中，取不同的一组方向Ei(i=1,2,…,n)，就……