一类级数的求和

唐 烁， 王旭辉

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

第五届中国大学生数学竞赛题预赛(2013年非数学类)的第七题[1]为：判断级数

的敛散性，若收敛，求其和.

作为数学竞赛题的培训题，[3]介绍了如下的问题：

本文对于以上几个级数求和问题给出一个较为一般的结论，然后给出其应用例子.

2 主要结论及证明

(1)

(2)

(2)

因此

特别在(1)中，an=n(d=1),bn用an(n=1,2,…)替换，即知

(3)

注 利用(3)也可得此结果.

由上可知，本文定理结论为引言中各例级数求和的一般形式.

3 应用举例

下面再通过几个实例进一步说明本文结论的应用.

解在已证定理中取

由于

又利用ln(1+x)的幂级数展开式可知

解因为

所以

注意到上面的级数当x=1时收敛，故有

再利用arctanx的幂级数展开式，可知

解易知

因此由(1)知

再由前面的例1知

类似可求得

(4)

(5)

(6)

由(5)、(6)知要证的等式成立.

注 由于

因此，(4)式的两端的值为2ln2.

最后再举一个较为复杂的例子.

解首先介绍一个定理：设x≥m∈时，f是一个非负的递减函数，则极限

(7)

(8)

这里ξ≥m+1,[ξ]表示不超过ξ的最大整数.

(9)

(10)

从而

又由[5]知

所以

所以

又

因此

4 结 论

本文对一道全国大学生数学竞赛题进行了推广，并给出了它的应用，进一步丰富了教学素材，对教学具有一定的参考价值.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发.