函数的单调性复习指导

■胡 磊

函数的单调性定义的等价形式:设任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2,若(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或,则f(x)在区间[a,b]上是增函数;若(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0 或,则f(x)在区间[a,b]上是减函数。复合函数的单调性:函数y=f(u),u=φ(x),在函数y=f[φ(x)]的定义域上,如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相同,那么y=f[φ(x)]单调递增;如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相反,那么y=f[φ(x)]单调递减。

下面举例说明函数单调性的应用。

例1若函数y=-|x-a|与y=在区间[1,2]上都是严格减函数,则实数a的取值范围为_____。

解:y=-|x-a|的图像关于x=a对称,且在x=a的左侧单调递增,在x=a的右侧单调递减,要在区间[1,2]上单调递减,则a≤1。对于y=,当a>0时,在x∈(-1,+∞)上单调递减,在x∈(-∞,-1)上也单调递减;当a<0 时,单调性反之。要在[1,2]上单调递减,则a>0。综上可知,0

例2已知分段函数f(x)=是定义在R 上的增函数,则a的取值范围是_____。

解:当x≥0 时,f(x)=ax+3 在[0,+∞)上递增,则a>0;当x<0 时,f(x)=-x2+2x+a=-(x-1)2+a+1的对称轴为x=1,则f(x)在(-∞,0)上递增,要使f(x)在R 上递增,还需满足在x=0左侧的值不大于右侧的值,即得a≤3。综上可得,0

例3函数f(x)=的单调递增区间是_____。

解:由2x-x2≥0,可得f(x)的定义域为[0,2]。设t=2x-x2,t≥0,则y=为增函数。函数t=2x-x2的对称轴为x=1,在(-∞,1]上单调递增。由复合函数的单调性可知,函数f(x)的单调递增区间为[0,1]。

例4已知函数f(x)=。

(1)证明:f(x)在[2,+∞)上单调递增。

(2)解不等式:f(x2-2x+4)≤f(7)。

(2)因为x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,所以x2-2x+4∈[3,+∞)。函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,要使f(x2-2x+4)≤f(7),则x2-2x+4≤7,即x2-2x-3≤0,所以-1≤x≤3。故不等式f(x2-2x+4)≤f(7)的解集为[-1,3]。

注意:单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。对于某个函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以不单调(如常函数)。函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在A,B上是增(或减)函数。