余挠对与余倾斜模

吴德军, 移晨刚

(兰州理工大学 理学院, 甘肃 兰州 730050)

倾斜模与余倾斜模是同调代数与代数表示论的重要研究对象.倾斜理论最早出现在Bernstein等[1]证明Gabriel定理中,提出了反射函子和Coxeter函子,并给出了倾斜模的相关定理.Brenner等[2]给出了倾斜模的定理.倾斜模在对偶函子的作用下即为余倾斜模,倾斜模与余倾斜模是代数表示论中一个重要的分支.

余挠对是由Salce在阿贝尔群范畴[3]和在模的近似理论的深入研究中提出[4].记KC=A∩B是余挠对C=(A,B)的核.设M是R-模.则ProdM表示同构于模M的直积的直和项所构成的模类.对于任意的余挠对C=(A,B),若A是余倾斜类,则对n-余倾斜模C,KC=ProdC[4].汪建等[5]给出了完备遗传余挠对的核是倾斜模的直积的直和项的充分条件.受此结论的启发，本文给出完备遗传余挠对的核是余倾斜模的直积的直和项的充分条件.

1 预备知识

在本文中,R是具有单位元的任意环,R-Mod是左R-模范畴.先给出涉及到的一些符号、定义和性质,参见文献[4,6].

符号.设C是R-Mod的全子范畴,n是非负整数.类C⊥,⊥C,C⊥∞和⊥∞C的定义如下：

对于C={C},用C⊥,⊥C,C⊥∞和⊥∞C依次代替{C}⊥,⊥{C},{C}⊥∞和∞⊥{C}.

余挠对.设A和B是在R-Mod中的类.称E=(A,B)是余挠对[3-4],若满足A=⊥B,且B=A⊥.

设C是模类,则C⊆⊥(C⊥),且C⊆(⊥C)⊥.若E=(A,B)是余挠对,则称KC=A∩B为C的核.

称余挠对(A,B)是完备的[4],若满足下面两个条件中的一个条件:

1) 对任意的R-模M,存在正合序列0→M→B→L→0,其中B∈B,且L∈A.

2) 对任意的R-模M,存在正合序列0→D→C→M→0,其中C∈A,且D∈B.

纯内射模.称左R-模M是纯内射模[6],若对每个R-模的纯正合列0→T→N,有Hom(N,M)→Hom(T,M)→0是正合的.用PI表示纯内射模类.显然,每个内射模是纯内射模.

引理1设R是环,M是纯内射模.则(⊥∞M,(⊥∞M)⊥)是完备遗传……