电磁波在双轴各向异性左手介质表面的Goos-Hänchen位移

张慧玲

太原学院理化系，山西 太原 030032

最近，人们对具有负介电常数和负磁导率的介质即左手介质产生了浓厚的兴趣.研究已经发现，各向异性左手介质的电磁特性明显不同于各向同性左手介质的电磁特性[1～3].本文研究电磁波在双轴各向异性左手介质中的传播特性，首先详细推导了在常规介质和双轴各向异性左手介质界面上发生的Goos-Hänchen位移表达式，并对此进行了讨论；其次，简要讨论了电磁波通过双轴各向异性左手介质传播时透射波的后向位移.

1 电磁波在双轴各向异性左手介质界面处的Goos-Hänchen位移

光线从光密介质入射到光疏介质，当入射角大于临界角时会发生全反射现象，反射光线会发生侧移，这是大约两个世纪前牛顿的设想.后来，Goos 和Hänchen通过巧妙的实验证明了牛顿的猜想是正确的,故被称为Goos-Hänchen位移.从那时起，很多学者研究和计算各向同性介质间的平面界面上发生的这种位移.研究已经发现常规介质界面上会发生正Goos-Hänchen位移(图1).随着左手介质的出现，人们对有关左手介质的Goos-Hänchen位移进行了大量的讨论[4～11]，曾发现在各向同性左手介质表面上会发生负Goos-Hänchen位移(图2).本文将讨论当光垂直于界面入射时在双轴各向异性左手介质表面上发生的Goos-Hänchen位移，发现负Goos-Hänchen位移的发生并不要求介电常数张量和磁导率张量的所有元素都为负.

图1 正Goos-Hänchen位移Fig.1 PositiveGoos-Hänchenshift

图2 负Goos-Hänchen位移Fig.2 NegativeGoos-Hänchenshift

1.1 推导电磁波从常规介质射向双轴各向异性左手介质表面上发生的Goos-Hänchen位移表达式

假设电磁波在o-xz平面上传播，如图3所示，z轴垂直于两介质的界面.用ε(>0)和μ(>0)表示常规介质的介电常数和磁导率，左手介质的介电常数张量和磁导率张量见(1)式和(2)式.

图3 左右手介质界面的反射和折射Fig.3 Reflection and refraction of the interface between the left hand medium and right hand medium

(1)

(2)

由边界条件知，折射波波矢和反射波波矢的切向分量应和入射波波矢的切向分量相等.故入射波、反射波和折射波可表示为

Ei=E0eyexp(ikxx+ikzz-iωt)

(3)

(4)

Er=rE0eyexp(ikxx-ikzz-iωt)

(5)

(6)

Et=tE0eyexp(ikxx+ikz′z-iωt)

(7)

(8)

对电极化波，能流密度(即坡印亭矢量的时间平均值)以及能流密度与波矢k的点积为

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

联合(12)式、(13)式解得

(14)

通过与电极化波类似的推导可得到磁极化波的侧向位移

(15)

1.2 讨论

为保证电极化波在左手介质的左手性，要求k·S<0，因此，对电极化波必有ε22<0.

(1)当μ11>0,ε22<0,μ33>0时,无论入射角为任何值都会发生Goos-Hänchen位移,并且位移为正.如果第二种介质是各向同性左手介质，界面将不会发生这种异常现象.

如果|ε22μ33|>εμ,将发生正Goos-Hänchen位移；

如果|ε22μ33|<εμ,将发生负Goos-Hänchen位移.

(4)μ11<0,ε22<0,μ33>0时,无论入射角为任何值都不会发生Goos-Hänchen位移.

2 电磁波在双轴各向异性左手介质平板中的横向位移

结合上一节所述，并由图4知，s=d/cosθ，对电极化入射波，s为

图4 光通过左手介质传播示意图Fig.4 Schematic diagram of a light beam propagating through a left-handed slab

同样，对磁极化入射波，s为

透射波的后向位移等于s+dtanθ′，现讨论如下：

1)当Goos-Hänchen位移为正，即s>0时，透射波的后向位移也为正；

2)当Goos-Hänchen位移为负，即s<0时，分两种情况：a)如果|s|dtanθ′，透射波的后向位移为负，后向位移变为正向位移.这是一种异常现象.

3)当不发生Goos-Hänchen位移，即s=0时，透射波的后向位移等于dtanθ′.

3 结语

本文研究了当电磁波从常规介质入射到双轴各向异性左手介质表面上发生的Goos-Hänchen位移，详细讨论了Goos-Hänchen位移的正负与介电常数张量和磁导率张量各元素符号之间的关系，发现负Goos-Hänchen位移的发生并不要求介电常数张量和磁导率张量的所有元素都为负.此外，我们还看到常规介质和双轴各向异性左手介质界面在一定条件下会发生异常Goos-Hänchen位移.最后我们简要讨论了当波穿过双轴各向异性左手介质平板时透射波的后向位移.