浅谈大数定律教学设计

于淼　吴素文　宋贽　杨吉会　张阚

[摘 要]大数定律是概率论与数理统计课程中抽象难懂的重要教学内容，如何设计与完备大数定律教学是课程教师实践中不断的追求。在教学积累过程中，以切比雪夫不等式为基础，以依概率收敛概念为依托，介绍了大数定律的一般形式，给出了随机事件频率稳定在其概率的精确表达，并探索服从大数定律的充分条件，找出大数定律之间的内在联系，从而培养学生的概率统计思维模式及理论联系实际的应用能力。

[关键词]切比雪夫不等式;依概率收敛;大数定律;思维模式;应用实践

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2021）11-0079-04

在概率论与数理统计的课程教学中，大数定律既很重要又是难点，它以严格的数学形式， 表达了随机现象最根本的性质——平均結果的稳定性，在理论与实践中均有广泛应用[1]。它是承上启下的教学内容，既是前面概率论部分的必要补充，又为数理统计部分提供理论依据，被称为“统计学的灵魂”[2]。由于大数定律理论性较强，内容复杂，教学比较抽象与枯燥，且难于掌握和理解，因此更好地梳理与设计大数定律的教学内容具有重要的理论与实践意义。

一、知识复习与准备

（一）切比雪夫（Chebyshev）不等式

设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意常数[ε>0]，有

[PX-E（X）≥ε≤D（X）ε2]，

或[PX-E（X）<ε≥1-D（X）ε2].[3]

切比雪夫不等式是大数定律的基础，是证明大数定律的有力工具[4]，可以说，伯努利（Bernoulli）大数定律、切比雪夫大数定律、马尔可夫（Markov）大数定律均是借助于切比雪夫不等式完成证明的，使用了[PX-E（X）<ε≥1-D（X）ε2]形式。

（二）依概率收敛