高等代数之最

王 丽

(湛江幼儿师范专科学校数学系 广东湛江 524037)

高等代数是高等院校数学专业一年级的必修课程之一，不少学生在开始学习高等代数之后，认为它的概念多，理论证明抽象，知识点分散，即知识之间的联系不强、前后衔接不上，认为在学习中无从下手。本文从最常用的词语“最小”出发，结合高等代数的知识，通过最小数域、最小子空间、最大公因式、最小公倍式以及最小多项式，解决学生在学习高等代数时无从下手的难题、强调高等代数中知识的联系，使学生形成对高等代数的整体认识。

我们知道，代数学的基本研究对象是数，数是可以进行加、减、乘、除（除数不为零）四种运算的，还可以比较数与数之间的大小（虚数除外），所以我们可以在有限数集或某些无限数集中找到最小的数。若把数集看作一个整体，那如何比较数集的大小呢？从历史上看，我们对数集的认识，通常是采用两种方法进行扩展的：一是添加元素法；二是构造法，而为了适应学生的年龄特点和接受能力，我们主要采用添加元素并强调运算的方法来对数集进行扩展，即

在这个意义下，正整数集可以说是最小的数集。文[1]中也介绍了两个特殊的数集：数环（对加、减、乘三种运算封闭的数集）和数域（对加、减、乘、除四种运算封闭的数集）。

一、最小的数环、最小的数域

数环、数域是贯穿高等代数的一个基本概念，在每章中都有体现，例如欧式空间，它是实数域上定义了内积的向量空间，这里就特别指明是实数域；……