基于GeoGebra动态交互探索偏导数几何意义

王洪越 张敬信 胡会荣 韩瑀 李天一

（哈尔滨商业大学数学与应用数学系 黑龙江省哈尔滨市 150028）

随着科技信息化的发展和教育的不断改革，整个社会都在悄悄地发生着巨大的变化。传统的教学方式和教学内容需要作进一步革新，许多在线教育教学类软件不断兴起掀起了线上教学的热潮。各类教学平台的及教学软件的出现给学生提供了更多更好的、自主学习的机会，如GeoGebra 等。

GeoGebra 作为一款新兴的动态图形化数学教学软件，具备作图简便、数形结合等特点，在线上教学中使用，运用GeoGebra 软件能够做到几何图形与代数方程的同步变化，展示数学对象动态生成的全过程，促进学生抽象知识的可视化理解，促进学生对数学知识及其图像的融合性领悟，在有以图像为引例的数学概念教学中有着明显的优势。利用多种教学软件可以使学生加深所学知识的印象，同时能够数形结合的去研究问题，这种方法大大提高了学生的主观能动性和学习积极性，同时也给教师提供了另一种新型的授课方式，是难得的利用现代信息技术进行教育教学的手段，近年来在中学、大学的数学教学中得到了广泛应用[1-5]。

1 偏导数的概念及几何意义

以二元函数z=f(x,y)为例，想要考虑因变量z 关于其中一个自变量，比如x，的变化率，需要固定y=y0，则变成一元函数z=f(x,y0)关于自变量x 的变化率，按一元函数导数定义就可以定义偏导数。

定义1[6]设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义，若极限存在，则此极限称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x 的偏导数，记为若函数z=f(x,y)对定义域D 内每一点(x,y)处对x 的偏导数都存在（是关于x,y 的函数），称为函数z=f(x,y)关于y 的偏导数，记为类似地可以定义函数z=f(x,y)关于y 的偏导数。

从几何上看，二元函数z=f(x,y)是一个空间中的曲面，固定y=y0相当于限制曲面在平面y=y0上，即考察一条曲线z=f(x,y0)。从而，根据一元函数导数的几何意义知，偏导数表示曲线f(x,y0)在x0处切线的斜率。

但是现有的如同济版《高等数学》中的偏导数几何意义示意图（见图1），是静态的单一视角，非常不直观；而且只能展示一个点处的偏导数，不能演示从一点扩展到曲面上任意一点的偏导数！

图1：同济版《高等数学》偏导数几何意义示意图[6]

本文借助GeoGebra 强大的动态交互图形化功能，设计并绘制动态交互演示偏导数几何意义的辅助教学课件。这对帮助学生更深入透彻地理解偏导数概念及其几何意义非常有帮助。

2 GeoGebra绘制偏导数几何意义动态交互图形

打开GeoGebra 3D 绘图区，以二元函数z=(x2+y2)/4 为例，想要换成其它二元函数只需要修改定义函数的指令。绘图步骤及说明如下：

（1）绘制二元函数曲面，输入指令：a:z=(x2+y2)/4 回车；注意a:是为该对象起名为a，方便后续使用它；

（2）绘制平面y=y0

为了演示“固定y=y0，y0可动态变化”，输入指令：y0=滑动条(-5,5,0.1) 回车，定义滑动条；再输入指令：b:y+0x+0z=y0 回车；

（3）绘制曲面与平面的交线z=f(x,y0)

输入指令：c:相交路径(a,b) 回车；

（4）绘制任意一点(x0,y0)

输入指令：A = 描点(c) 回车，这样得到的A 点可以在曲线c上移动；

（5）绘制交线z=f(x,y0)在点(x0,y0)处的切线

输入指令：L:切线(A,c) 回车

（6）绘制必要的辅助线、辅助角

切线斜率是切线与(x0,y0)处平行于x 轴的直线的夹角正切值，为了便于理解，绘制该平行直线，并把该夹角标记出来。

输入指令：L1:直线(A,x 轴)回车；注意，用两条直线夹角的指令得到的夹角是我们想要的夹角的补角，采用分别在L 和L1上描点B 和C，再输入指令：角度(B,A,C)回车。

经过以上步骤，已经完成了GeoGebra动态交互演示偏导数几何意义的辅助教学课件制作，结果如图2所示。

图2：GeoGebra动态交互演示偏导数几何意义

该图形具有动态可交互性，在线下、线上的课堂上，只要电脑安装有GeoGebra 软件，都可以动态交互演示。A 点代表当前点(x0,y0)处，蓝色曲线是固定y=y0后的交线z=f(x,y0)，黑色直线就是该曲线在A 点处的切线，夹角α 的正切值就是当前偏导数值；用鼠标拖动A 点，则切线、辅助虚直线、夹角α 及角度大小都将跟着动态变化，演示交线上每一点(x,y0)处的偏导数；拉动滑动条y0，则蓝色平面、蓝色交线、黑色切线、夹角α 及角度大小都将跟着动态变化，演示任意一点(x,y)处的偏导数；另外，在空白位置按住鼠标拖动，可以切换到任意视角来观看当前图形。

3 结论

对于空间感较弱的学生来讲，单凭想象三维立体图像是很难能够真正理解的到位的，很有可能梳理不好他们之间的关系，使学生思维受到局限，解题没有效率，思维能力也得不到提升，往往是浪费时间的不可取的。相比普通的偏导数几何意义示意图，用GeoGebra 制作的本课件所展示的内容能够动态交互、更加直观丰富，为教师教授偏导数内容提供了新思路，为学生理解偏导数提供了新方法，达到事半功倍的效果。

在当今科技突飞猛进的信息化时代，培养学生自主探究学习的能力迫在眉睫，最关键能力、核心竞争力是学习能力。随着时代的不断进步，越来越多的数字化软件应用于课堂上，看得出来教学改革正与时俱进着。GeoGebra 动态数学软件教学模式应运而生，将GeoGebra 软件应用于课堂之上，在高等数学教学中也起到了很重要的作用，不仅有助于教师教学，更有助于学生学习，便于去理解和体会，还能在课后起到很好的辅助作用。能够使利用网络教学资源与传统教学方法充分融合，不再是干干巴巴的文字和数字，还有五颜六色的图形和3D 旋转动态图，无论是对于教师还是对于学生来讲，都是新鲜有趣能够抓住眼球的，使学生自主去探索未知的领域，在有趣的高效的交互中获得知识。

这样不仅能够提高课堂教学效率，同时也激发了学生的学习潜力和综合应用能力，帮助学生更深刻的了解和掌握所学知识，牢牢扎根于心，使学生成为课堂的主导者，提高了实际的应用能力，使其在日后的工作和学习中也能够思维发散，学以致用。打破固有的粉笔式教育，引入信息化软件进入课堂，利用其带有的图形等功能实现数形结合，真正的激发学生自主学习的兴趣，对教师的职业提升也有积极意义，从而达到提升教育教学质量的目的。