理解轴对称 感受数学美

文／万广磊

同学们学习了图形的平移之后，又将学习图形的轴对称。这是另一种几何图形变换，也是中国传统美学中的经典运用。

一、总结和归纳本章内容的结构美

在本章的学习中，同学们可以类比学习平移的方法研究轴对称：从生活中提炼轴对称模型→通过画图归纳轴对称的概念→通过图形变换理解轴对称图形的性质→在生活中运用轴对称解决问题。

具体我们将建立下面的知识结构，如图1，同时感受一下学习内容的结构美。

图1

二、发现和欣赏生活中的对称美

在生活中，树叶（图2）、雪花（图3）、蝴蝶（图4）等是对称的；中国古诗中的对仗、民间的对联等都有一种内在的对称关系。对称是艺术家们创作艺术作品的重要准则。建筑艺术中对称的应用就更广泛了，比如北京故宫、天安门、人民英雄纪念碑、天坛（图5）等。

图2

图3

图4

图5

同学们要能发现并欣赏生活中的图形带来的轴对称美，用美好的心情学习数学，享受数学带来的快乐并创造更多的数学美。

三、探索和归纳数学题中的思维美

我们在学习的过程中，掌握数学知识的多少并不是最重要的，最重要的是我们是否领悟到了数学的精神。这种领悟数学精神的过程就是数学美的创造过程，是数学美的升华，是高阶的思维美。

同学们在解决数学问题时，要结合条件和几何图形，强化对称意识，构造基本图形。比如由线段的垂直平分线想到两条相等的线段，由角平分线想到两条垂线段相等，由等腰三角形想到两腰、两个底角相等，由直角三角形想到斜边中线构造出的两个等腰三角形。如果图中没有出现两个相等元素，那就通过添加辅助线的方法构造。

例如，如图6，已知AB是等腰直角△ABC的斜边，AD是∠A的平分线。求证：AC+CD=AB。

图6

这道题具有多个特征，可用很多作辅助线的方法来证得。比如，以AD为对称轴，点C（或B）的对称点必落在AB（或AC的延长线）上；以AC（或BC）为对称轴，点B（或A）的对称点必落在BC（或AC）的延长线上等。再结合等腰直角三角形的性质即可解决。

四、感受和掌握几何图形的运动美

我们不仅要关注静态的几何图形，还要关注其动态呈现。几何图形的呈现，静中有动，动中有静，深刻反映了数学的静态美与动态美。同学们在分析几何图形时，要能从图形的平移、轴对称、旋转等角度理解问题中几何图形之间的位置关系，在图形的运动中找到元素之间的相等关系，继而进行推理论证。

例如，如图7，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD。当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；探究：当α 为多少度时，△AOD是等腰三角形？

图7

同学们可以尝试做一做，注意进行探究时，要分情况讨论。

通过以上思考，同学们去发现美，去欣赏美，形成对数学美的规律性认识，再用这些规律去猜想、去探索、去发现、去分析、去解决数学问题，从而达到数学审美的最高境界——应用数学美和创造数学美。