热力耦合问题的拓扑优化算法*

韩 欢，王自强

(贵州民族大学数据科学与信息工程学院，贵州 贵阳 550025)

关于热弹性拓扑优化问题主要围绕如何建立合理的优化模型以及如何实现工程的应用研究展开。文献[1]研究了以柔顺度为目标、体积为约束的热载荷作用下，二维线性弹性体的拓扑优化问题。文献[2]针对热弹性优化问题的灵敏度求解，提出了一套统一有效的伴随设计灵敏度分析方法，并推导出热传导系数和杨氏模量的设计灵敏度表达式。文献[3]运用水平集法，对热弹性结构进行拓扑优化，获得光滑清晰的结构边界。本文基于固体各向同性惩罚法，建立二维悬臂梁热力耦合问题的拓扑优化算法，并基于Freefem++软件实现该算法。

1 热力耦合问题的拓扑优化模型构造

图1 悬臂梁热力耦合问题的示意图Fig.1 Schematic diagram of the cantilever beam thermo-mechanical coupling problem

在密度方法中，可以使用不同的材料插值和离散化方法解决结构拓扑优化问题。固体各向同性惩罚法，将材料分布定义为连续函数。这样设计的设备易于制造，因为设计变量决定了候选材料的分布，故得到广泛的应用。类似文献[4]，假设：

(1)

其中C0，C1，E1，E0，γ0，γ1，κ0，κ1，φ，p，v分别表示孔洞区域的四阶弹性张量，固体材料的四阶弹性张量，固体材料的杨氏模量，孔洞区域的杨氏模量，孔洞区域的热膨胀系数，固体材料的热膨胀系数，孔洞区域的热导率，固体材料的热导率，设计变量，惩罚参数，泊松比。

类似文献[2]、文献[4]，本文研究热力耦合最小化问题为：

满足

(2)

其中，ω，τ，n，ε分别表示体积分数约束，Kronecker符号，边界的法向量，应变；……