一类耦合系统的共振经典解

鲁 雄，索洪敏

(1贵阳职业技术学院基础教育部，贵州 贵阳 550081；2贵州民族大学数据科学与信息工程学院，贵州 贵阳 550025)

0 引言和主要结果

讨论如下Gross-Pitaevskii 耦合系统：

解的存在性，其中Δ表示Laplace算子，g1(u，v)，g2(v，u)都是抽象函数，N1、N2是常数，λ、μ是参数，Ω是RN中的光滑有界区域。

当g1(u，v)=αu3且g2(v，u)=βv3时已有大量文献对该问题进行了相关的研究和数值模拟，如文献[1-3]及其引用，这里的α、β都是实数；文献[4]利用变分法和椭圆方程理论得出：

的假设下解的存在性，同时得出系数趋于负无穷时解的极限产生相位分离现象。注意到1876年首次出版的文献[5]中提到如下振动模型：

其中，(t，s)为变量，μ、E为常量，ω=ω(s0，t)为初始横向位置s0方向上与时间有关的受力，l为固定的弦长。该模型由德国物理学家Kirchhoff G R提出，后来被许多学者推广到形如

(1)

受上述文献的影响，我们将Gross-Pitaevskii耦合系统部分推广到退化Kirchhoff型问题的弱耦合系统：

(2)

其中，a和b都是正常数，λ为正参数，Ω是RN(N≥1)中有光滑边界的区域，(u，f)是待求的函数对。

我们的创新点在于，我们将利用文献[8，16]的思想以特征值问题为铺垫结合代数分析的方法考虑系统(2)无穷多解的存在性，并且考虑无穷多共振经典解的存在性，首先获得正解负解，其次获得无穷多解，再得到无穷多经典解，最后使用适当的例子加强结论的可靠性，我们的方法和结论与文献[1-4]均不同。

定理1 设a，b，λ为任意正数(常数参数均可)，则系统(2)存在无穷多共振经典解，并且满足

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