卷积等价分布族的封闭性

高 宇，杨月丽，彭 千

（1.安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601；2.安徽农业大学 理学院，安徽 合肥 230036）

1 引言

卷积等价分布族是应用概率论中一类重要的分布族，同时该分布族由于其良好的性质现已广泛应用于排队论[1]和风险理论[2]等领域。对于卷积等价分布族的研究可见文献[3-13],近期应用可见文献[14-15]。然而，在卷积等价分布族的诸多研究中，最基本问题还是其在卷积运算下是否具有封闭性。Kluppelberg 和Villasenor 较早得到该分布族不满足封闭性，并且给出了相应的反例[16]。因此，寻找在何时条件下卷积等价分布族关于卷积运算具有封闭性一直是应用概率统计学者关心的问题，但由于数学方法上的局限性，关于该问题的研究进展缓慢。直到2020 年，Leipus 才首次给出了卷积等价分布族关于卷积封闭的若干充要条件[17]。这显然是一个非常重要的理论研究成果，在卷积等价分布族的理论研究中占有非常重要的地位。

然而，Leipus 等人给出的充要条件并不全面[17]，有些条件验证起来也不方便。因此本文继续拟寻找卷积等价分布族关于卷积封闭的其他充要条件。众所周知，次指数分布族是卷积等价分布族的特例，而次指数分布族关于卷积运算的封闭性已有较成熟的结果。如文献[18]给出次指数分布族也不满足卷积封闭性，FOSS S 等人[18]给出关于卷积封闭的若干充要条件，GELUK J 等人给出在最值运算下的封闭性[19]。因此，受次指数分布族关于卷积运算封闭性的启发，本文首先给出卷积等价分布族关于卷积封闭的若干充要条件。……