对一道数列课堂习题的探究与引申

四川师范大学附属中学(高中) (610066) 周其祥 黄光鑫

四川师范大学数学科学学院 (610068) 纪定春

1.问题呈现

该数列证明题，主要考察学生对等差数列中等差中项的概念理解与应用，是培养学生数学概念理解能力、逻辑推理素养和数学运算素养等的好题．问题的思路开阔、解法多样、形式简单、结构优美，是一道值得探究的好试题．同时，该问题的解决思路，蕴含了丰富的数学思想，如对称思想、“配凑”思想、整体化思想、代换思想、平移变换思想等，是高中数学思想的瑰宝，是渗透数学思想方法的好问题．接下来，先对原问题的解法进行探究，然后从等差中项或等比中项的角度，对问题进行适当的引申．

2.问题探究

思路1：等差定义法

思路2：定向“配凑”法

思路3：整体“平移”法

分析：对比条件和结论的结构，可以发现，条件中以单个字母作为分母，这与结论的结构完全相同，而条件的分母都是“1”，待证明的结论中出现了轮换对称结构，考虑将分子全部变成“a+b+c”，再利用分数恒等变形，就可化为待证明的结构．

评注：思路1从等差数列等比中项的性出发，然后将待证明数列前后项相加，再利用等价代换，建立三个数之间的数量关系，进而证明结论．思路2利用条件和结论之间的差异性，从结论的结构出发，利用条件的结构来凑结论需要的结构，进而达到证明的目的．思路3是从整体的观点出发，巧妙的运用了“1”的特性、等式的恒等变形和等差数列具有平移变换不改变等差特性的……