基于线性与力学特征分析对称性结构内力★

程时宇，黄志强，李冬梅

(桂林理工大学土木与建筑工程学院,广西 桂林 541004)

在超静定问题求解方法中,力法是重要的方法之一,也是其他超静定解法的基础。在结构力学的基本知识点中,对称性问题不但可以深化基本概念的理解,同时可分析结构的内力特征与变形特征。应用对称性内力特征与变形特征可简化结构体系,这为手算或定性分析超静定结构体系带来了极大的便利。同时,由于对称性所形成的内力特征与变形特征蕴含丰富的数学知识与力学知识,深入讨论其内在联系,可开阔在其中的“小天地”。在众多的教学教材描述中,对其中的内在描述未深入探究,教与学中也带来了盲点。

1 对称性结构在对称荷载下内力特征

从杨茀康[1]编写的教材可知,对称结构在对称荷载作用下,对称轴轴线处内力特征可依据力法方程:

δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0；δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0；δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0。

其中,X1，X3均为对称轴处正对称的多余未知力；X2为正称轴处反对称的多余未知力。

若荷载也关于对称轴对称,则自由项:

即正对称荷载作用下,力法的典型方程为:

δ11X1+δ13X3+Δ1P=0；

δ31X1+δ33X3+Δ3P=0。

由此得到正对称荷载作用下,对称轴处只存在正对称的内力。基于线性代数的理论,理解上述过程容易。然而反对称荷载作用在对称结构上,问题带来了一定的不确定性。

在反对称荷载作用下的弯矩图是反对称的。由图乘法及自由项的定义可知：

因此典型方程可化简为:

δ11X1+δ13X3=0;
δ22X2+Δ2P=0;
δ31X1+δ33X3=0。

很显然,此时未知力X2已与其他方程解耦,只需要分析δ11X1+δ13X3=0,δ31X1+δ33X3=0即可。

但从数学角度上无非直接得出X1=X3=0的结论,教材上普遍对于此结论做了简单说明,然而不经过严格证明无法使读者理解该结论的正确性。……