求二面角大小的两种思路

黄林佳

二面角问题在立体几何中比较常见.一般地，要求二面角的大小，要先作出二面角的平面角，然后求得二面角的平面角的大小，二面角的平面角的大小即为二面角的大小.求二面角的大小一般有两种思路，即采用定义法和向量法.下面我们结合一道典型例题来探讨求二面角大小的两种思路.

例题：已知圆O的直径AB的长为2，上半圆弧有一点C，∠COB=60°，点P是弧AC上的点，点D是下半圆弧的中点.现以AB为折痕，使下半圆所在平面垂直于上半圆所在平面，连接PO，PD，PC，CD，如图1所示.当三棱锥P-COD体积最大时，求二面角D-PC-O的余弦值.

该题较为复杂，不仅考查了三棱锥的体积、平面与平面的垂直关系，还考查了求二面角大小的方法.我们需首先根据题意和几何图形，明确各点、线、面的位置关系，然后合理添加辅助线，作出二面角的平面角，然后再求出平面角的大小.有以下两种思路.

一、采用定义法求二面角的大小

定义法是求二面角大小的常用方法，也是基本方法.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，然后将平面角的两条边或角置于某一个三角形或平行四边形内，运用平面几何知识，如正余弦定理、解三角形知识、勾股定理等求出平面角的大小.

解：由题意可知DO⊥平面PCD，∴VP-COD=VD-COP，

∵，

∴当……