垂线平均含沙量两种表述方法之比较

王蒙恩 王圣草

[摘要] 悬移质垂线平均含沙量有多种表述方法 ， 根据实际工作的需要本文仅对流量法垂线平均含沙量和面积法垂线平 均含沙量进行探讨 ， 本文阐述了两种垂线平均含沙量之间的关系 ， 指出面积平均含沙量要大于流量平均含沙量。含沙量 及流速分布越不均匀 ， 两者差别就越大 ， 解决了在实际工作中对两者发生的混淆。

[关键词] 垂线平均含沙量 ; 表述方法 ; 探讨

悬移质垂线平均含沙量是泥沙测验工作中的 一项重要内容 ， 是研究悬移质输沙率与水流挟沙 能力的基础 ， 也是研究河床演变问题的依据 ， 掌 握好垂线平均含沙量的表述方法 ， 在实际工作中 具有重要意义。

因为含沙量及流速分布在垂线上是不均匀 的 ， 所以也有多种垂线平均含沙量的表述方法。 本文仅对流量法与面积法两种表述方法进行讨 论 ， 它们的定义分别为。

S1 = ∫k 0 usd y/ ∫k 0 ud y （1）

S2 = 1/ h ·∫k 0 sd y （2）

式中 ： S1 、S2 为流量法与面积法的垂线平 均含沙量; u、s 为距河底 y 处的流量与含沙量; h 为垂线水深。

在实际工作中 ， 两种垂线平均含沙量各有特 点 ， 流量法同时考虑了流速和含沙量这两个因 素 ， 流速为向量因素 ， 这样求得的垂线平均含沙 量 S1 常用于与悬移质输沙率有关的计算中; 而 面积法仅考虑含沙量这一因素 ， 这样的垂线平均 含沙量 S2 一般只用于理论研究中。

流量法垂线平均含沙量 S1 与面积法垂线平 均含沙量 S2 是两个截然不同的概念 ， 一般不可 相互代用。本文正是要对这两种垂线平均含沙量 之间的差异进行讨论 ， 以澄清将 S1 与 S2 混淆 的问题。

2  S1 与 S2 的差异

用普朗特对数表述垂线流速分布

u/ U 3 = （1/ k） ·lnζ+ C

或写成

u/ U = [1 + 1/ kC0 （1 + lnζ） ] （3）

式中 ： kw 为卡门常数; U 为相对水深ζ （ y/ h） 处的点流速 ， 即垂线平均流速; U 3 为摩阻流速; C0 为谢才系数 （ C0 = C/ g ， C = U/ U 3 ） 。

依据罗斯公式垂线含沙量分布

S/ sa = {ζa （1 - ζa） · [ （1 - ζ） /ζ]} Z （4） 式中 ： s 为相对水深ζ处的点含沙量; S a 为ζ= ζa 处参考含沙量; Z =ωskU ﹡为悬浮指标。

式 （3） 及 （4） 所表示的流速及含沙量垂线 分布规律 ， 计算精度较高 ， 有一定的理论基础 ， 得到了广泛的应用。

利用式 （3） 及式 （4） ， 可得流量平均含沙量

S1 = ∫10 usd y/ ∫10 ud y

= sa [ζa/ （1 - ζa） ] Z ∫10 { （1 + 1/ kC0） · [ （1 - ζ） /ζ] Z + 1/ kC0 · [ （ 1 - ζ） /ζ] Zl nζ} dζ （5）

若令

∫10 [ （1 - ζ） /ζ] Zdζ= J1 （6）

∫10 [ （1 - ζ） /ζ] Zl nζdζ= J2 （7）

则式 （5） 变为 S1 = sa [ζa/ （1 - ζa） Z] { （1 + 1/ kC0） J1 + 1/ kC0J2} （8）

利用式 （4） 可得面积平均含沙量

S2 = ∫10sdζ= [ζa （1 - ζa） ] Z ·sa ∫10 [ （1 - ζ） /ζ] Zdζ （9）

同樣将式 （6） 代入上式可得 S2 = sa [ζa （1 - ζa） ] ZJ1 （10）

S1 与 S2 之比为 β= S1/ S2 = 1 + 1/ kC0 （1 + J2/ J1） （11）

因为 J1、J2 仅与 Z 有关 ， 所以β也仅为 Z 与 kC0 的函数 ， 即 β= f （ kC0 ， Z） （12）

从数学上可以证明 ， 函数 J 1 与 J 2 具有如下性质 ： ①J 1 > 0 ， J 2 < 0 ; ②| J 1 | < | J 2 | 。

所以有 β= S1/ S2 < 1 （13）

式 （13） 说明面积平均含沙量永远大于流量 平均含沙量。此差异完全是由流速分布的垂线不 均匀性引起的。

根据 J1、J2 曲线 [ 3 ] ， 可得β与 Z 、kC0 之间的关系 ， 如图 1 所示。

从图 1 中可以发现β具有以下变化规律 ： ①随着 Z 值的增大 ， S1 与 S2 相差越大。 悬浮指标 Z 是反映垂线含沙量分布均匀程度的 物理指标 ， Z 越大 ， 含沙量垂线分布越不均匀; Z 越小 ， 含沙量垂线分布越均匀。所以含沙量分 布越均匀β越小 ， 反之β越大。

②随着 kC0 值的增大 ， S1 与 S2 相差越小。 kC0 是反应垂线流速分布均匀程度的一个物理指 标 kC0 越大 ， 流速分布越均匀; kC0 越小 ， 流速分布越不均匀。因此 ， 流速分布越均匀β越小 ， 反之β越大。

③流速分布指标 kC0 = 5 ― 10 ， 而悬浮指标 Z = 0101 ― 5 ， 从图 1 中可知 ， 悬浮指标 Z 对β 的影响要远大于流速分布指标 kC0 对β的影响 ， 即含沙量的垂线分布均匀程度对β的影响要大于 流速分布均匀程度对β的影响。

④当 Z ≤013 时 ， S1 与 S2 两者相差不到 10 % ， 此时可近似地以 S1 代替 S2 或以 S2 代替 S1 ， 对计算结果影响不大; 当 Z > 013 时 ， S1 与 S2 两者相差较大 ， 不可相互代用。这就是说 S1 与 S2 两者不是任何条件下都可以相互代用的。

3 结 语

在泥沙研究中 ， 采用的流量平均含沙量 S1 与面积平均含沙量 S2 ， 无论是数学理论、物理 意义 ， 还是具体计算结果 ， 都不相同 ， 切勿误 用。两者的差异 ， 随着悬浮指标 Z 的增大 ， 两 者的差别越来越大 ， 且 S2 永远大于 S1 ， 当 Z ≤ 013 时 ， 两者相差不足 10 % ， 此时两者可近似替 代 ， 而当 Z > 013 时 ， 两者不可相互替代。

参考文献 ：

[ 1 ]《河流泥沙动力学》水利电力出版社 1989。 [ 2 ]《潮汐水流中的悬沙运动及冲淤计算》水利学报 1963 （4） 。 [ 3 ]《明渠水流的挟沙能力》水利出版社 1956。