解答立体几何问题的两个路径

潘菊平

立体几何问题侧重于考查同学们的逻辑推理能力和空间想象能力.解答立体几何问题，我们一般需先明确空间中点、线、面的位置关系，然后灵活运用立体几何中的定理、公式等.而有些问题较为复杂，为了提升解题的效率，我们不妨采用另外两个途径：利用转化法和向量法来解题.

一、采用转化法转化法是指将较为复杂的空间几何转化为简单的平面几何问题来求解的方法.在解题时，我们需将空间中的点、线、面之间的位置关系转化到平面内，然后运用平面几何的相关知识，如三角形的性质、平行四边形的性质等来解题.运用转化法解题，可以有效地降低解题的难度.

例1.如图1，某人在点 A 处进行射击训练，目标 P 在墙面上的 CM 上移动.已知 AB =15m ，AC =25m ，∠BCM =30°，且 AB 与墙面垂直.若在点 A 处观察点 P 的仰角为θ，求 tan θ的最大值.

我们通过添加辅助线，找出θ角的平面角，将立体几何问题转化为解三角形ΔABP′、ΔCP′P ，利用勾股定理和正切函数的定义求得tan θ的表达式，然后根据函数的性质求得最值.

二、利用向量法

向量法是指建立空间直角坐标系，将各个点、线段、平面用坐标表示出来，通过空间向量坐标运算来解题的方法.在运用向量法解题时，我们要根据几何图形的特点和解题需求，選择合适的位置，建立空间直角坐标系，然后运用空间向量运算法则合理进行运算.运用向量法解题，能将几何问题转化为向量问题，有利于转换解题的方向.

例 2.已知在长方体 ABCD¬A1B1C1D1中，B1C 和 C1D 与底面所成的角分别为60°和45°，求异面直线B1C和 C1D所成角的余弦值.

我们根据正方体的特点，以 A1为原点、三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，然后分别求出各个点的坐标以及各个线段的方向向量，利用异面直线所成的角的定义以及向量的夹角公式，求得异面直线 B1C 和C1D所成角的余弦值.

虽然立体几何问题的逻辑性和抽象性都较强，但是我们只要找到正确的解题途径，灵活运用转化法、向量法，将立体几何问题转化为平面几何问题、向量运算问题，就能破解复杂的、抽象的问题.

（作者单位：江苏省射阳县高级中学）