解答不等式证明问题的常用方法

杨志霞

解答不等式证明问题的方法有很多种，如比较法、分析法、综合法、换元法、反证法、判别式法等.如何选择合适的方法来解题呢？下面，我们结合实例来探讨一下换元法、反证法、判别式法的应用及适用范围.

一、三角换元法

运用三角换元法证明不等式，需用三角函数式，如sinθ、cosθ等代替某些代数式，将不等式转化为三角函数式，借助三角函数的有界性证明结论.在换元的过程中，要注意确保定义域的等价性，并用θ的范围来限制不等式的取值.

二、反证法

反证法是证明不等式问题的常用方法.运用反证法解题，需先假设与所要证明的结论相反的结论，即假设原不等式不成立，然后通过一系列的推理、运算，得出与之相矛盾的结论，从而证明最开始否定的结论是不成立的，这就说明原不等式成立.运用反证法证明不等式的关键在于推理出相矛盾的结论.

例2.设>0，>0，且+=a2（1）+b2（1）.证明：+<2与+<2不可能同时成立.

证明：假设+<2与+<2同时成立，

则有+++<4.

而由+=a2（1）+b2（1）得=1，

因为>0，>0，所以=1.

因为+≥2=2（当且仅当==1等号成立），

+≥2=2（当且仅当==1等号成立），

所以+++≥2+2=4（当且仅当a==1等号成立），

这与假设相矛盾，故假设错误.

所以+<2与+<2不可能同時成立.

本题若从正面入手，需讨论三种情况：（1）+<2成立，+<2不成立;（2）+<2不成立，+<2成立;（3）+<2不成立，+<2不成立，解题的过程较为复杂.而采用反证法求解，只需从问题的反面着手，重点讨论一种情况：+<2与+<2同时成立，再利用基本不等式便可证明结论.

三、判别式法

判别式法常用于解答一元二次方程问题.对于一元二次不等……