如何从多个角度寻找解三角函数求值题的思路

熊芮 陈豫眉

对于同一道数学问题，我们从不同的角度进行思考，往往能得到多种不同的解题方案.这样不仅能拓宽解题的思路，还有助于培养发散性思维能力.因此开展“一题多解”训练是很有必要的.笔者以一道教材中的习题为例，谈一谈如何从多个角度寻找解答三角函数求值问题的思路和方法.

一、原题呈现

人教版高中数学必修四（B版）第三章的本章小结“自测与评估”板块的第4题：

该三角函数中同時出现了正弦和余弦，含有一次、二次式，且20与80之间没有关联，题目较为复杂.但是此题的切入点较多，如特殊角、二倍角公式、对偶式、正余弦定理、变量代换等.我们可以从这5个角度进行思考，寻找解题的思路.

二、解法探寻

思路1：借助特殊角的三角函数值来求解

三角函数中有很多的特殊角，如0、30、45、60、90、120、180、270等，它们的三角函数值都是我们熟知的，因此在解答三角函数求值问题时，我们可以通过拼凑，将非特殊的角转化为特殊角，然后借助特殊角的三角函数值来求得三角函数式的值.对于本题，我们可以将80拆分为60和20，借助60的三角函数值来化简三角函数式，求得目标式的值.

此解题思路中运用了化归的思想，将未知的角化为已知的角，将所需要解决的问题转化为已经解决的问题或容易解决的问题来求解.

思路2：运用降幂公式求解

当函数式中含有次数不一的式子时，我们可以运用降幂公式，将高次的式子转换为低次的式子，以便使函数式中的……