环的n-余挠维数

熊 涛

（西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充637002）

0 引言

规定R恒指有单位元的交换环.对R-模N，pdRN代表N的投射维数.用gl.dim（R）（对应地，w.gl.dim（R））表示R的整体（对应地，弱整体）维数，未解释的概念和符号可参考文献［1-2］.

余挠模受到诸多文献关注.文献［3］中R-模C称为余挠模，是指对任何平坦模F，都有Ext1R（F，C）＝0.每个模都有内射包，与内射包相对应的概念是投射盖.人们自然要问，每个模是否有投射盖.文献［4］证明了每个R-模有投射盖当且仅当R是完全环（每个平坦模是投射模）.随着盖包理论的发展，文献［5］提出了平坦盖猜测（Flat Cover Conjecture，缩写为FCC）：每个R-模有平坦盖.此后，多篇文献讨论了平坦盖的存在性.文献［6］借助余挠模，彻底解决了FCC：任何环上，每个模都有平坦盖和余挠包.

按照同调理论的观点，文献［11］引入了模M

环R是完全环，是指每个R-模都有投射盖，等价地，每个平坦R-模是投射模.文献［12］的定义1.1称R为n-完全环，是指每个平坦模的投射维数不超过n.文献［11］推论7.2.7证明了环R是完全环当且仅当Cot.D（R）＝0；文献［11］推论7.2.6证明了环R是n-完全环当且仅当Cot.D（R）≤n.

文献［13］也引入了模的强余挠分解和模的强余挠维数，以及环R的强余挠整体维数S.Cot.D（R），并且证明了对任何环R，Cot.D（R）≤S.Cot.D（R）；Cot.D（R）＝0当且仅当S.Cot.D（R）＝0；自然地，每个模也应该有n-余挠分解以及相应的维数，环应该有相应的n-余挠整体维数.文献［14］正是沿着这个思路，借助文献［7］定义的n-余挠模，建立在整个R-模范畴上的n-余挠分解，任何模的n-余挠维数，以及环R的n-余挠整体维数Cn.D（R）.

文献［4］引入环R的有穷投射维数FPD（R）＝sup｛pdRM｜MR-模满足pdRM＜∞｝.这个同调维数受到学者们的广泛关注.文献［15］证明了R是完全环当且仅当FPD（R）＝0；……