半范数pA的特征

施慧华

(华侨大学 数学科学学院，福建 泉州 362021)

1 pA的特征

对于定义1中的序列A={ai}，文献[9]定义了l∞上的连续半范数pA，即

并利用次微分证明了A-收敛等价于一族有限可加测度收敛.

必要性.设pA(χB)=α>0.当β=0时，取C为B的任一单点子集，当β=α，取C=B.证明当0<β<α时的情况.记B={j1，j2，…，jk，…}⊆N，则

构造以下3个满足需要的数列.

当in≤i

结合定理2及性质1，有以下推论.

2 强无原子次测度与无原子理想

I⊂2N称为N的一个理想，如果I满足1)可遗传性:任意B∈I，则由A⊂B，可得A∈I；2)有限并的封闭性:任意A，B∈I，A∪B∈I.称Banach空间X中的序列{xn}I-收敛于x，若对任意ε>0，{n∈N：‖xn-x‖≥ε}∈I，当I为非平凡的真理想，即I≠Ø，且N∉I时，可得x的唯一性.若I包含所有单点集，称I是容许的.I-收敛由文献[12]提出，特别地，当I=Ifin={A⊂N：A#<∞}时，I-收敛即为收敛.

若记IA={A⊂N：pA(χA)=0}，则根据pA的次可加性可知，IA是真理想.对B⊂N，由性质1可知，pA(χB)=max{〈x*，χB〉：x*∈∂pA(e)}，记φA(B)=pA(χB)，结合pA的非负性、单调不减和次可加性，可得φA是2N上的一个次测度(详细讨论参见文献[13-15]).

定义2[14]次测度φ是强无原子的，对于任意ε>0，存在N的有限分划{A1，…，Ak}满足φ(Ai)<ε(i=1，2，…，k).

定义3[14]理想I⊂2N称为是无原子的，若存在N的一列加细的有限分划{Pn}，对任意Z⊂N，若存在单减序列{An}，满足An∈Pn(∀n∈N)，且(ZAn)#<∞，则有Z∈I.

文献[11]定义的BW和FinBW可以推广至Banach空间中.

定义4ⅰ)称理想I满足BW，若对任意有界序列{xn}⊂X，存在M∉I，则{xn}n∈M是I-收敛的；

ⅱ)称理想I满足FinBW，若对任意有界序列{xn}⊂X，存在M∉I，则{xn}n∈M是收敛的.

显然，对容许的理想I，I满足FinBW时，必满足BW，反之，不成立，但对定义的IA有以下结论.

定理3若IA是容许的理想，则IA满足FinBW，当且仅当IA满足BW.

ⅰ)B∈IA.这是由于B∩[1，jk]⊂C1∪C2∪…∪Ck，从而当ik≤i

ⅱ)(MB)#=∞.如若不然，(MB)#<∞，则有MB∈IA，又B⊂M，B∈IA，故M=(MB)∪B∈IA，矛盾.

结合MB∉IA和{xn}n∈MB收敛于x，可知IA满足FinBW.

定理4[11]若φ为强无原子的次测度，则理想Z(φ)={A⊂N：φ(A)=0}不满足BW.

定理5[11]理想I不满足FinBW，当且仅当I是无原子的.

对IA，结合定理3，4，5，则有定理6.

即B∉IA，矛盾.