例谈求线面角的两种思路

李晨

立体几何中的线面角问题是高中数学中“老生常谈”的一类问题.此类问题侧重于考查同学们的空间想象和运算能力.解答这类问题的思路一般有两种：借助直接法和向量法.本文以一道典型题目为例谈一谈解答立体几何中线面角问题的思路.

例题：

要解答本题，我们需先结合图形找出对应的边、角及其关系，然后结合直线与平面所成的角的定义找出对应的线面角以及线面角所在三角形的边长，根据正弦函数的定义求得直线 VB 与平面 CMN 所成角的正弦值.有如下兩种思路.

思路一、采用直接法

直接法是解答高中数学问题的基本方法，是指根据题意，灵活运用相关的公式、定义、定理等进行求解的方法.该方法一般适用于较为简单的题目.要求得直线 VB 与平面 CMN 所成角的正弦值，我们需先根据直线与平面所成角的定义找到 VB 在平面 CMN 内的射影，而该射影很难直接找到，可利用等体积法，求得 B 到平面 CMN 的距离，构造出直角三角形，再运用正弦函数的定义求得结果.

解：

思路二、借助空间向量

运用空间向量解答立体几何中的线面角问题，要先根据已知的空间位置和边角关系建立合适的空间直角坐标系，然后用向量表示出各个点、线段、平面，通过空间向量运算求得所求直线的方向向量与平面的法向量，运用公式即可求得线面角的余弦值.

解：

在建立空间直角坐标系后，通过空间向量运算便可求得 VB 的方向向量以及平面 CMN 的法向量，运用公式即可解题.

上述两种思路都是解答立体几何中线面角问题的重要思路.同学们在解题时还应注意直线与平面所成角的范围为[0， ]，确保其正余弦值都为正数，避免出现不必要的错误.

（作者单位：辽宁省辽阳市第一高级中学）